円弧による接続 – 定義

導入

数学、特にトポロジーでは、円弧による接続は接続の概念を改良したものです。任意の 2 点を常にパスで接続できる場合、位相空間は円弧で接続されていると言われます。実際、つながりは基本的な概念です。ただし、エッジによる接続はより直観的であり、多くの場合、接続を証明する最良の方法です。

パス

円弧による接続を定義する前に、いわゆる「パスによる接続」を定義する必要があります。私たちが置かれている状況に応じて、特定の道を検討することができます。

位相空間内のパス

Eが位相空間であり、 xとyがEの 2 点である場合、始点xと終点yのパスを連続アプリケーションと呼びます。

$$ {\gamma : [0,1] \rightarrow E } $$

γ(0) = xおよびγ(1) = yとなります。

始点xと終点y を持つパスが存在する場合に限り、 xとyが接続されていると言います。

「 xはyに接続されている」という関係はE上の同値関係です。

• すべての定数パスγ( t ) = xのおかげで、 x はxに接続されます。
  $$ {t \in [0,1]} $$
  ;
• xがyに接続されている場合、反対のパスのおかげでyはxに接続されます。
  $$ {\overline{\gamma}(t) = \gamma (1-t)} $$
  すべてのために
  $$ {t \in [0,1]} $$
  ;
• xがyに関連し、 y がzに関連する場合、 x はzに関連します。実際、 γ _{1 が}x をyに接続し、 γ _{2 が}y をzに接続する場合、複合パスは次のようになります。
  $$ {\gamma = \gamma_2 \star \gamma_1} $$
  γ( t ) = γ ₁ (2 t )で定義されます。
  $$ {0 \leq t \leq 1/2} $$
  そしてγ( t ) = γ ₂ (2 t − 1)の場合
  $$ {1/2 \leq t \leq 1} $$
  x をzに接続します。

正規化されたベクトル空間内のパス

周囲空間Eが標準化されたベクトル空間である場合、点を接続するパスの性質を指定できます。

• 直線的なパス: パスが直線であると言われるのは、それが記述できる場合に限ります。
  $$ {\gamma(t) = x + t \vec{u}} $$
  すべてのために
  $$ {t \in [0,1]} $$
  。ベクトル
  $$ {\vec{u}} $$
  をγの方向ベクトルと呼びます。パスのサポートは線分になります。

• 多角形のパス: パスは、有限数の直線パスの合成として記述された場合に限り、多角形であると言われます。たとえば、マンハッタンのルートは多角形のパスです。

• クラスパス
  $$ {\mathcal{C}^k} $$
  : パスはクラスにすることができます
  $$ {\mathcal{C}^k} $$
  と
  $$ {k \in \N} $$
  。実際、すべてのパスはクラスです
  $$ {\mathcal{C}^0} $$
  つまり連続的ですが、より高いレベルの規則性を持たせることもできます。クラスパス
  $$ {\mathcal{C}^k} $$
  と
  $$ {k \in \N^*} $$
  の場合はより規則的であると言われます
  $$ {\gamma ‘ (t) \neq 0} $$
  すべてのために
  $$ {t \in [0,1]} $$
  。クラスへの通常のパス
  $$ {\mathcal{C}^{\infty} } $$
  をスムーズパスといいます。

アークによる接続性

これらのさまざまなタイプのパスにより、場合に応じてアークによってさまざまなタイプの接続を定義できるようになります。

意味

任意の 2 点をこの部分に描かれたパスで接続できます。

位相空間E は、 E内の点のすべてのペアがパスで接続されている場合に限り、円弧で接続されていると言われます。

Eの部分Aは、 A内の点のすべてのペアがAに残っているパスによって接続されている場合に限り、円弧によって接続されていると言われます。

正規化されたベクトル空間の部分Aは、多角形の円弧 (それぞれ円弧)によって接続されていると言われます。 $$ {\mathcal{C}^k} $$

つながりへのリンク

見た目上、アークによる接続は接続に非常に近いです。 「常に 2 つの点を接続できる」ということは、「1 つの部分にある」ことと同じだと考える人もいるかもしれません。実際、私たちが断言できるのは、 「円弧でつながった空間はすべてつながっている」ということだけです。

違いは微妙であり、その逆を無効にする反例を提示するのは困難です。以下に古典的な反例を示します。関数f を次のように定義します。

$$ {\begin{array}{r|ccc}f : & ]0,1] & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle \cos \left( \frac{1}{x} \right). \end{array}} $$

この関数は]0,1]で連続します。注意します

そして、 Γは連続関数のグラフとして接続され、 Cは接続部分の粘着力として接続されます。しかし、 C が円弧によって接続されていないことを示すことができます。

ただし、正規化ベクトル空間の接続されたオープンスペースはすべて円弧によって接続されます。

前のデモンストレーションは、アークによって接続されるトポロジーの多様性の接続された開いたものに一般化します。

継続性へのリンク

アークの接続性は、接続性と同様に、継続的なアプリケーションによって維持されます。 EとF が2 つの位相空間であり、

より具体的なタイプの円弧接続についても同様の結果が得られます。

• 多角形の円弧による接続性は、線形マップとアフィン マップによって保存されます。
• アークによる接続
  $$ {\mathcal{C}^k} $$
  によって保管されています
  $$ {\mathcal{C}^k} $$
  -微分同相写像。

製品

EとF を円弧で接続された 2 つの位相空間とします。

• 積トポロジーで提供されるデカルト積E x Fは、円弧によって接続されます。

これを自分自身に納得させるのは簡単です。 ( x ₁ , y ₁ ) と ( x ₂ , y ₂ ) をE x Fの 2 点とします。 EとFの円弧による接続性は、次のようなEとFの値を持つ 2 つのパスγ _xとγ _yの存在を示します: γ _x (0) = x ₁ 、 γ _x (1) = x ₂ 、 γ _y ( 0) = y ₁およびγ _y (1) = y ₂です。 0 から 1 の間の実数tに(γ _x ( t ),γ _y ( t ))を関連付けるパスγは、積空間の円弧による接続性を示します。

例

• 標準化されたベクトル空間では、凸または星型の部分が円弧で結ばれます。
• 円は円弧で結ばれています
  $$ {\mathcal{C}^{\infty}} $$
  滑らかではありますが、多角形の円弧ではありません。
• 正方形は多角形の円弧で接続されていますが、円弧では接続されていません
  $$ {\mathcal{C}^{\infty}} $$
  スムーズ。
• 有理座標を持つ点のプライベート平面:
  $$ {\R^2 \backslash {\mathbb Q}^2} $$
  多角形の円弧で接続されており、さらに円弧で接続されています
  $$ {\mathcal{C}^{\infty}} $$
  。
• 直交特殊群
  $$ {\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})} $$
  そして一般線形群
  $$ {\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})} $$
  弧によって接続されます (基準によって誘導されるトポロジーの場合)
  $$ {\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})} $$
  ）。