イジングモデルについて詳しく解説

イジング モデル(またはレンツ イジング モデル) は、常に同じ空間軸に沿って配向し、+M と – の 2 つの可能な値のみを取るという特定の特性を持つ粒子の磁気モーメントのネットワーク モデルです。このモデルにより、非常に顕著な優先方向を持つ非常に強い異方性を示す強磁性材料の磁性を比較的簡単に記述することが可能になります。イジング モデルのもう 1 つの応用例は、二元合金の記述です。この場合、+M 磁気モーメントは原子種の 1 つを表し、-M 磁気モーメントは他の原子種を表します。イジングモデルの長距離秩序は、2 つの種の間の相分離(低温相が常に -M または +M に等しい場合)、または副格子の 1 つが次の原子を運ぶ秩序相を記述することができます。 1 つの種 (+M モーメント) と、もう 1 つの副格子は他の種の原子を運びます。イジングモデルの無秩序相は、2 つの種が混合する状態、またはサブネットワークが等価な状態をそれぞれ記述します。 2 番目のケースは秩序無秩序遷移と呼ばれます。イジング モデルのこのバージョンは、Bragg and Williams モデル (1936 年) と呼ばれます。このモデルの 3 番目の応用は、液体と気体の転移の記述です。このバージョンでは、モーメント +M を持つサイトは原子によって占有されているサイトを表し、モーメント -M を持つサイトは占有されていないサイトを表します。この説明では、磁場は原子の化学ポテンシャルになります。磁場の存在下で起こる相転移は、高密度液体状態と低密度気体状態の間の一次転移です。このバージョンのイジング モデルは格子ガス モデルと呼ばれます。

このモデルのハミルトニアンは次のように記述されます。

J _{i j}はモデルの交換相互作用、 h は磁場です。一般に、最初の近傍間の相互作用のみを含むイジング モデルを考慮します。

基本的な状態

J _{i j} > 0の場合、 h = 0の基底状態は、すべてのモーメントが同じ値を持つ状態です。二部ネットワーク上でJ _{i j} < 0の場合、基本関数も簡単に見つけることができます。すべてのモーメントは、一方のサブネットワークでは値Mを持ち、もう一方のサブネットワークでは– Mになります。非二部ネットワークの場合、およびJ _{i j} < 0の場合、モーメント間のすべての相互作用エネルギーを同時に最小化することができないため、状況はさらに複雑になります。この場合、イジングモデルは挫折していると言えます。フラストレーション イジング モデルの場合、基本波は一意ではなく、巨視的な縮退がある場合もあります (これは 2 次元の三角格子上のフラストレーション イジング モデルの場合です)。場合によっては、基本波の縮退を正確に計算することが可能です (GH Wannier、1950)。ランダムな相互作用を伴うイジング モデル (相互作用が短距離の場合はエドワーズ アンダーソン モデル、相互作用が長距離の場合はシェリントンおよびカークパトリック モデル) を考慮することもできます。これらのモデルは、磁性不純物が金属に希釈された材料を表します。フラストレーションは、これらのモデルが従来の長距離秩序を発達させるのを妨げ、スピングラス状態の形成に重要な役割を果たします。

以下では、決定論的な相互作用を伴う非フラストレーション モデルのみに焦点を当てます。

一次元

1次元では、イジング モデルは伝達行列法によって正確に解くことができます。歴史的には、この解決策は、レンツの指導の下でのイジングの論文(1925 年) に遡ります。この解は、自由エネルギーがあらゆる温度に対して解析的であることを示しています。これは、このモデルには相転移がないことを意味します。 Landau と Lifshitz が提示した非常に一般的な物理的議論により、短距離相互作用を持つ1次元モデルは正の温度では相転移を起こすことができず、欠陥を生成するために必要なエネルギーは常にエントロピーによって大部分が相殺されることを示すことができます。得。 FJ ダイソンは、次のような 1 次元の長距離相互作用を伴うイジング モデルを研究しまし_た。 i − j | ^−σ 。彼は、 σ < 2の場合、これらのモデルは任意の温度で秩序化され、 σ > 2の場合、これらのモデルは任意の温度で不規則になることを示しました。 σ = 2の場合のみ、相転移が起こる可能性があります。 PW Anderson、A. Yuval、DR Hamman による近藤効果に関するその後の研究では、 σ = 2の長距離イジング モデルと近藤効果の間に関係があることが示されました。したがって、 σ = 2のモデルは相転移を示すことができ、これはベレジンスキー、コステリッツ、サウレスの転移と類似しています。

二次元

正確な解決策

2 次元の場合、R. Peierls は 1936 年にイジング モデルに相転移があることを示すことができました。クラマースとワニエによる理論的議論 (二重性) により、1941 年にこの相転移が起こる温度を予測することが可能になりました。自由エネルギーの正確な計算という意味での、ゼロ場におけるモデルの解は、1944 年のLars Onsagerによるものです。Onsager の方法は、伝達行列法を 2 次元の場合に一般化したものです。それには行列代数の学習が必要です (Kerson Huang の本を参照)。この方法は非常に複雑であるため、他の物理学者はこのモデルのためのより単純な分解技術を開発しようと努めてきました。カウフマンによるアプローチにより、相互作用のない 2 次元イジング モデルを 1 次元フェルミオン モデルと関連付けることができました。このアプローチは、その後、Samuel によってグラスマン代数手法を使用して開発されました。それについては、C. Itzykson と JM Drouffe の著書で説明されています。 Kac と Ward (1952) による別のアプローチは、分配関数の計算をグラフの列挙に減らすことで構成されています。このアプローチは、Landau と Lifchitz の著書で説明されています。転移温度以下での秩序パラメータの挙動は、1949 年に Onsager によって推測されました。Onsager の予想は、1952 年に CN Yang によって証明されました。テプリッツ行列と補題 de Szego を使用する、より単純な方法が、EW Montroll、JC Ward、RB によって導入されました。相関関数は、1976 年に Tracy、McCoy、Wu によって、Painlevé III 関数に関して得られました。 Tracy、MacCoy、Wu の結果はイジング モデルの臨界点に限定されず、非臨界イジング モデルにも有効であることに注意することが重要です。

一方、クラマース・ワニエ双対性は 1971 年に L. Kadanoff と H. Cevaによって拡張され、無秩序演算子μ が導入されました。高温期では、

そして 。高温相では状況が逆転します。クラマース・ワニエ双対性は、順序演算子と無秩序演算子を交換します (そして明らかにそれらの相関関数も交換します)。

臨界現象理論の発展におけるイジングモデルの重要性

イジング モデルの興味深い点は、この正確に可溶なモデルが平均場理論によって与えられる臨界指数とは異なる臨界指数を持っているという事実から来ています。たとえば、平均フィールドの相関長の臨界指数はν = 1/2ですが、イジング モデルではν = 1です。別の例は、イジング モデルの場合はβ = 1/8 、平均場理論の場合はβ = 1/2に相当する順序パラメータ指数です。このように、2 次元イジング モデルの解法により、統計力学が相転移を予測し、平均場理論よりも複雑な臨界挙動を記述することができることを示すことが可能になりました。これは、1960 年代の臨界点付近の普遍性仮説とスケール不変性に関する、その後の ME フィッシャー、LP カダノフ、H. ウィダムの研究への道を開きました。特に、イジングのモデルは、ウィダムの均一性仮説から生じる臨界指数間の関係を満足させました。ハイパースケーリング関係も同様です。 1970 年代に相転移の 繰り込み群が開発されたことで、これらの仮説を正当化することが可能になりました。

イジングモデルの共形不変性

他の多くの 2 次元モデルと同様に、イジング モデルには臨界点における共形不変の特性があり、中心電荷はc = 1/2です。

この特性により、(2 点関数だけでなく) すべての n 点相関関数を臨界点で正確に計算することが可能になります。さらに、共形不変性により、共形重み(1/16,1/16) の磁化σ 、カダノフおよび共形重み (1 /16.1/16) の Ceva μの不規則演算子、共形重み (1/2.0) および (0.1/2) を持つカウフマン フェルミオン演算子ψと、共形重み (1/2 .1/2) を持つエネルギー密度演算子εです。次のような関係があります。

ここで、製品はオペレーターによる製品開発として理解されます。この代数は一般化してパラフェルミオンの共形理論に導くことができます。イジング モデルは、商手順によって Wess-Zumino-Witten モデルから取得することもできます。イジングモデルは商です

。

イジング モデルの共形理論は、 h σ( x )の形式の演算子によって乱される可能性があります。 AB ザモロチコフは、この摂動理論が可積分であることを示すことができ、摂動モデルを記述する大質量場理論のS行列を推測することができました。

イジング モデルの中心電荷c = 1 / 2があるという事実により、ダブル イジング モデルを自由ボソン理論のオービフォールドとして説明できる中心電荷c = 1の理論に還元することが可能になります。

三次元

3次元イジングモデルについては、まだ解析的な解決策が見つかっていません。ただし、繰り込み群を使用して遷移付近のイジング モデルの臨界指数を計算することは可能です。これらの指数の表は、C. Itzykson と JM Drouffe の著書に記載されています。

コンピューターシミュレーション (モンテカルロ) によってその臨界温度を計算することができました。

四次元など

このケースは非物理的ですが、イジング モデルの臨界指数が平均場理論の臨界指数であることに注目するのは興味深いことです。繰り込み群の用語では、4 はイジング モデルの上位臨界次元です。平均場理論がハミルトニアンによって定義された無限範囲イジング モデルの正確な解であることに注目することも興味深いです。

$$ {H=-J/N (\sum_i \sigma_i)^2~} $$

形式的には、このモデルは、無限に向かう傾向がある多数の近傍と相互作用する磁気モーメントを記述します。したがって、それはイジング モデルの無限次元の限界と見なすことができます。無限スコープの相互作用を使用して無限次元でイジング モデルを定義する代わりに、Cayleyツリー(Bethe ネットワークとも呼ばれる) 上のモデルを考慮して近傍の数を固定すると、正確な解はBethe-パイエルス近似。この近似は、平均場と比較して温度のより良い推定値を与えますが、これは自己矛盾のない方法でもあるため、平均場の指数を再現します。

最初の近傍間の相互作用のない、平均場における一連のイジング スピンの分配関数

これは最も単純なモデルです。各瞬間のエネルギーは +MH または -MH の値のみを取ることができ、H は平均フィールドです。したがって、パーティション関数は次の値を取ります。

$$ {Z=(e^{\beta MH}+e^{- \beta MH})^N ~} $$

そこから磁化、 磁化率、熱力学量などを簡単に推測できます。

最初の近傍間の相互作用を伴う平均場におけるイジングスピンの連鎖の分配関数

最初の隣接要素間の相互作用の最も単純な形式は、 J M _i M _{i + 1}タイプです。ここで、J は結合定数です。このような場合、相互作用に関与するエネルギーは、イジングスピンの場合、値J M ²または– J M ²となります。チェーン全体のエネルギーは次の形式になります。

$$ {E=\sum_i HM_i+\sum_iJM_iM_{i+1}~} $$

そして、分割関数は次の形式になります。

$$ {Z=\sum_{\{M_i\}}\exp(-\beta \sum_i (HM_i+JM_iM_{i+1}))~} $$

この場合、次のトリックにより、相互作用なしでスピンの問題に還元できます。変数Mi_を変数に置き換えます。

。これにより、Z の因数分解が可能になります。

$$ {Z=\sum_{\{M_i’\}}\exp(\beta \sum_i (-HM_i’+2JM_i’^2-{JM^2\over 2}))~} $$

$$ {=\prod_i(\sum_{val M_i’}\exp(\beta (-HM_i’+2JM_i’^2-{JM^2\over 2})))~} $$

またはもう一度:

$$ {\exp(-\beta {NJM^2\over 2})(exp(\beta(-HM+2JM^2))+exp(\beta (HM+2JM^2))+1)^N ~} $$

この方法でも、さまざまな熱力学的変数を比較的簡単に計算できます。

モデルの興味

1 次元の計算は単純であるにもかかわらず、2 次元の計算にはすでに非常に多大な知的投資が必要です (Onsager!)。従来の手法では三次元での正確な計算は不可能です。したがって、基本的な相互作用が極めて単純であるため、研究対象の材料の幾何学的形状に起因するすべての複雑さを非常にエレガントな方法で明らかにすることが可能になります。イジングスピンは数値コンピューターシミュレーションに非常に適したモデルであることを付け加えれば、このような一見単​​純なモデルの人気には驚かないでしょう。