メイソン・ウィーバー方程式について詳しく解説

導入

メイソン・ウィーバー方程式は、均一な力、通常は重力場の作用下での溶質の沈降と拡散を記述する方程式です。

数学的表現

重力がz方向に向いた場であると仮定すると (図 1)、メイソン・ウィーバー方程式は次のように書くことができます。

$$ { \frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^{2}c}{\partial z^{2}} + sg \frac{\partial c}{\partial z} } $$

ここで、 tは時間、 cは溶質の線形濃度 ( z方向の単位長さあたりのモル数)、パラメータD 、 s 、 g はそれぞれ溶質の拡散係数、沈降係数、重力加速度(仮定) を表します。一定であること）。

メイソン・ウィーバー方程式は境界条件によって補足されます。セルが長方形であり、 デカルト座標系 (図 1) 上に配置されていると仮定すると、次のようになります。

$$ { D \frac{\partial c}{\partial z} + s g c = 0 } $$

セルの上部と下部には、それぞれz _aとz _bと表記されます (図 1)。これらの境界条件は、溶質がセルの壁を通過するのは物理的に不可能であるため、流量はゼロでなければならないという事実に対応しています。同様に、側壁の流れはゼロでなければなりません。したがって、細胞内に含まれる溶質の総量は

$$ { N_{tot} = \int_{z_{b}}^{z_{a}} dz \ c(z, t) } $$

は保存されます。つまり、 d N _{to o t} / d t = 0です。

無次元のメイソン・ウィーバー方程式

パラメータD 、 s 、 gは特性長z ₀を決定します。

$$ { z_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{D}{sg} } $$

と特性時間t ₀

$$ { t_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{D}{s^{2}g^{2}} } $$

無次元量を定義することによって

そして 、メイソン・ウィーバー方程式は次のようになります。

$$ { \frac{\partial c}{\partial \tau} = \frac{\partial^{2} c}{\partial \zeta^{2}} + \frac{\partial c}{\partial \zeta} } $$

境界条件の影響を受ける

$$ { \frac{\partial c}{\partial \zeta} + c = 0 } $$

セルの上部と下部、それぞれζ _aとζ _bです。

メイソン・ウィーバー方程式の取得

垂直速度vで移動する質量mの粒子は、抗力f v 、その重量m gおよびアルキメデスの推力ρ V gという 3 つの力を受けます (図 1)。ここで、 gは重力加速度、 Vは重力加速度です。溶質粒子の体積、 ρ は溶媒の密度です。 機械的平衡（分子溶質の場合、通常は 10 ns で到達）では、粒子は 3 つの力が互いに補償し合う限界速度_{v ter mに}達します。

体積V は粒子の質量mにその質量体積を乗じたものに等しいため、

、機械的平衡状態は次のように書くことができます。

$$ { f v_{term} = m (1 – \bar{\nu} \rho) g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ m_{b} g } $$

ここで、 m _{b は}アルキメデスの浮力を考慮した溶質の見かけの質量です。

メイソン・ウィーバー沈降係数を定義できます

。抗力係数f はアインシュタインの関係により拡散係数Dに関係します。

$$ { D = \frac{k_{B} T}{f} } $$

、

sとDの比は次の値に等しい

$$ { \frac{s}{D} = \frac{m_{b}}{k_{B} T} } $$

ここで、 k _Bはボルツマン定数、 T は温度(ケルビン)です。

任意の点での流れJ は次のように与えられます。

$$ { J = -D \frac{\partial c}{\partial z} – v_{term} c = -D \frac{\partial c}{\partial z} – s g c } $$

最初の項は濃度勾配の影響下での物質の拡散による流れを表し、2 番目の項は粒子の平均速度v _{t e r m}による対流を表します。小さな体積の外側で正の正味の流束が発生すると、その体積内の濃度が局所的に減少します。

$$ { \frac{\partial c}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial z} } $$

J を前の式の式で置き換えることで、メイソン・ウィーバー方程式が得られます。

$$ { \frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^{2}c}{\partial z^{2}} + sg \frac{\partial c}{\partial z} } $$

メイソン・ウィーバー方程式の解

この方程式は変数分離法で解くことができます。ポーズをとることで

、定数βで結合された 2 つの方程式が得られます。

$$ { \frac{\partial T}{\partial \tau} + \beta T = 0 } $$

$$ { \frac{\partial^{2} P}{\partial \zeta^{2}} + \left[ \beta – \frac{1}{4} \right] P = 0 } $$

ここで、 βの可能な値は境界条件によって定義されます

$$ { \frac{dP}{d\zeta} + \frac{1}{2} P = 0 } $$

それぞれ、上部境界値ξ _aと下部境界値ξ _bにあります。 Tの方程式は解T (τ) = T ₀ e ^{− βτ} ( T ₀は定数) を許容するため、メイソン・ウィーバー方程式を解くことは関数P (ζ) を見つけることに帰着します。

Pの常微分方程式とその条件は、いくつかの結論につながる Sturm-Liouville理論の基準を満たしています。まず第一に、微分方程式の解であり、境界条件を満たす固有関数P _k (ζ)の正規直交セットが存在します。さらに、対応する固有値β _{k は}実数で、固有値β ₀によって下限が制限され、自然数kが固有関数のランクであるk ²のように漸近的に増加します。この場合、最小の固有値は0であり、平衡に対応します。最後に、固有関数は完全なセットを形成します。 c (ζ,τ)の任意の解は、固有関数の線形結合として表現できます。

$$ { c(\zeta, \tau) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} P_{k}(\zeta) e^{-\beta_{k}\tau} } $$

ここで、 c _kは初期分布c (ζ,τ = 0)から決定される定数係数です。

$$ { c_{k} = \int_{\zeta_{a}}^{\zeta_{b}} d\zeta \ c(\zeta, \tau=0) e^{\zeta/2} P_{k}(\zeta) } $$

定義により平衡状態ではβ = 0となり、平衡状態における濃度分布は次のようになります。

$$ { e^{-\zeta/2} P_{0}(\zeta) = B e^{-\zeta} = B e^{-m_{b}gz/k_{B}T} } $$

これはボルツマン分布と一致します。

関数P ₀ (ξ) は微分方程式の解であり、 ξのすべての値の境界条件を満たし (代入によって検証できます)、定数B は溶質の総量から決定できます。

$$ { B = N_{tot} \left( \frac{sg}{D} \right) \left( \frac{1}{e^{-\zeta_{b}} – e^{-\zeta_{a}}} \right) } $$

非平衡固有値_{βk を}見つけるには、次のように進めます。 P 方程式の方程式は、解の単純な調和振動子の形式をとります。

または

$$ { \omega_{k} = \pm \sqrt{\beta_{k} – \frac{1}{4}} } $$

β _kの値に応じて、 ω _{k は}純粋に実数になります (

) または純粋な想像力 ( ）。境界条件を満たすことができるのは純粋な仮想解、つまり平衡解だけです。その結果、非平衡固有関数は次のように書かれます。

P (ξ) = A cosω _k ξ + B sinω _k ξ

ここで、 AとBは定数、 ω は厳密に正の実数です。

発振器の振幅ρと位相φ を新しい変数として導入することで、

$$ { u \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \rho \sin(\phi) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ P } $$

$$ { v \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \rho \cos(\phi) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ – \frac{1}{\omega} \left( \frac{dP}{d\zeta} \right) } $$

$$ { \rho \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ u^{2} + v^{2} } $$

$$ { \tan(\phi) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ v / u } $$

Pの二次方程式は 2 つの 1 次方程式に因数分解されます。

$$ { \frac{d\rho}{d\zeta} = 0 } $$

$$ { \frac{d\phi}{d\zeta} = \omega } $$

注目すべきことに、得られた境界条件は、 ρだけでなく、極点ξ _aおよびξ _bにも依存しません。

$$ { \tan(\phi_{a}) = \tan(\phi_{b}) = \frac{1}{2\omega_{k}} } $$

その結果、次の方程式が得られます。

$$ { \phi_{a} – \phi_{b} + k\pi = k\pi = \int_{\zeta_{b}}^{\zeta_{a}} d\zeta \ \frac{d\phi}{d\zeta} = \omega_{k} (\zeta_{a} – \zeta_{b}) } $$

周波数ω _kの正確な解を与える

$$ { \omega_{k} = \frac{k\pi}{\zeta_{a} – \zeta_{b}} } $$

固有振動数ω _{k は}、 ξ _a > ξ _bであるため正であり、基本周波数の一連の高調波で構成されます。

。最後に、固有値β _{k は}ω _kから導き出すことができます。

$$ { \beta_{k} = \omega_{k}^{2} + \frac{1}{4} } $$

まとめると、非平衡解の成分は、 e ^{ζ / 2}で重み付けされた初期濃度分布c (ζ,τ = 0)のフーリエ級数への分解に対応します。各フーリエ成分は次のように独立して減少します。

ここで、 β _{k は}フーリエ級数周波数ω _kに関して上で与えられています。