導入
日常生活において、楕円は円を遠近法で見たときに認識される形、または平面上の円盤の影によって形成される図形です。
また、最初の近似として、恒星または別の惑星を周回する天体 (惑星、彗星、または人工衛星) の軌道に楕円があることもわかります。したがって、地球は、第一近似として、太陽が焦点となる楕円を移動します。
数学では、楕円は、円を平面に投影することによって (投影の方向が円の平面に平行でない場合に限り)、または円錐と平面の交点によって得られる、閉じた平面曲線です。 。その場合、平面があまり傾いていないことが必要です。つまり、平面の法線と円錐の軸との間の角度が、円錐の角度の余角（円錐の軸と円錐の軸との間の角度）より小さい必要があります。準線)。円は楕円の特殊なケースとみなされます。
幾何学では、焦点と呼ばれる 2 つの固定点までの距離の合計が一定である点の軌跡です (これによる構築は非常に簡単です)。
楕円は、離心率が厳密に 0 と 1 の間の円錐曲線でもあります。
幾何学的定義
円錐の断面
楕円は円錐ファミリーの一部である平面曲線です。これは、平面が回転円錐を通過するときに、平面と回転円錐が交差することによって得られます。この場合、円は楕円の特殊なケース (垂直な切断面) になります。
院長と世帯主
フレームワークは次元2 のユークリッドアフィン空間です。 ( d ) を直線、 F を( d )に属さない点、 e を]0,1[の実数とします。 ( d )とFによって決定されるアフィン平面をPとします。平面Pの点Mの集合は次のことを検証します。
- $$ {\frac{d(M,F)}{d(M,(d))} = e } $$
ここで、 d ( M , F ) は点Mから点Fまでの距離を測定し、 d ( M ,( d )) = d ( M , H )はMから線( d )までの距離を測定します。
K を( d )上のFの正射影とします。 ( K F ) は明らかに、焦点軸と呼ばれる楕円の対称軸です。
楕円の二焦点定義
FとF ” を平面上の 2 つの異なる点とします。焦点FおよびF ”の楕円を呼びます。これは、次の特性を検証する平面の点Mのセットです。
- $$ { d(M,F) + d(M,F’) =2a=2\sqrt{c^2+b^2} \qquad a \in\R^*_+,\quad b \in\R^*_+} $$
ここで、 2 a は長軸の長さ、 2 c = d ( F , F ”) 、 2 b は短軸(長軸に垂直) の長さです。この関係は、点Mから焦点までの距離の合計が一定であり、長軸の長さに等しいことを表します。
親和性による円のイメージ
( C 1)を中心O 、半径aの円、 ( C 2) を中心O 、半径b ( b < a ) の円、 ( x x ‘) Oを通る直線とします。中心O 、長半径a 、短半径 b を持つ楕円を、軸( x x ‘ )と( x x ‘ )に垂直な方向の親和性およびb の円の画像( C 1 )と呼びます。 /比率。
大円の点m 1のイメージである楕円の点M を構築するには、 [ O m 1 ]上に位置する円の点m 2 ( C 2)を構築します。 ( x x ‘)に垂直なm 1 a と( x x ‘)に平行なm 2 aによって導きます。線はMで交差します。実際、 m ‘ がm 1の( x x ‘)への正射影である場合、タレスの定理によれば、次のようになります。
- $$ {\frac{m’M}{m’m_1} = \frac{Om_2}{ Om_1 } = \frac{b}{a}} $$
ステアリングサークルによる施工
FとF ‘ を2 つの異なる点、 ( C )を中心F ‘ 、半径2 a ( 2 a > F F ‘ ) とする円とします。
ディレクター円( C )と焦点F を持つ楕円、 ( C )に接しF を通過する円の中心のセットを呼びます。
mの( C )に接する円の中心である点M を作成するには、線分[ F m ]の二等分線をトレースします。これはMの半径[ F ‘ m ]と一致します。