導入
数学では、凸面上での正射影の定理は距離の最小化の結果であり、その主な帰結は直交補足の存在、したがってベクトル部分空間上での正射影の存在です。ヒルベルト空間の特定の状況では、これはハーン・バナッハの定理を有利に置き換えます。実際、それを実証するのはより簡単であり、その結果はより強力です。
関数解析、線形代数、ゲーム理論、経済科学の数学的モデリング、さらには線形計画法など、数多くの用途があります。
定理の説明
この記事では、 E は実数前ヒルベルト空間、つまりスカラー積が与えられたR上のベクトル空間を表し、 x はベクトルを表し、 C はEの完全な凸集合を表します。 xとCの間の距離は、 xとCの点の間の距離の下限を指定します。
定理の最も一般的なバージョンは次のとおりです。
完全な凸面への射影の定理— Cには、凸面への射影と呼ばれるEの一意のマップt が存在します。これは、 xからCまでの距離がそれに等しくなるように、 Cの点t ( x ) をxに関連付けます。 xからt ( x ) まで。ベクトルt ( x ) は、次の 2 つの命題を検証するCの一意の点であり、これらは等価です。
空間Eがヒルベルト、つまり完全である場合、 Cが完全であると仮定することは、空間 E が閉じていると仮定することと同じです。 tアプリケーションは、最良近似プロジェクターと呼ばれることもあります。
- (1) を満たす t ( x )の存在を示しましょう。
δ をxとCの間の距離、( y n ) xとy n の間の距離の2乗が δ 2 + 1/ n以下になるようなCのシーケンスとします。 nとm を2 つの整数とすると、平行四辺形の恒等式に従って、次のようになります。
- $$ {2\|y_n -x\|^2 + 2\|y_m -x\|^2=\|y_n + y_m-2x\|^2+\| y_n – y_m \|^2,} $$
これは書き換えられます:
- $$ {\| y_n – y_m \|^2 = 2\|y_n -x\|^2 + 2\|y_m -x\|^2 – 4\| \frac{y_n + y_m}2 -x \|^2.} $$
等式の 2 番目の要素の最初の 2 つの項を増加し、 y nとy mの中点がCの点であるため、 xから δ 以上の距離にあることに注目すると、次が得られます。
最後の加算により、シーケンス ( y n ) がコーシーであるため、完全なCに収束するという事実が確立されます。限界は、 xからの距離が最小であるC内の点です。
- (1) を満たす t ( x )の一意性を示しましょう。
y 1とy 2 を、xから距離 δ にあるCの 2 点とする。上記と同様の計算により、
- $$ {\| y_1 – y_2 \|^2 \le 2\delta^2 + 2\delta^2 – 4\delta^2=0} $$
したがって、 y 1 = y 2となります。
定理の 2 つの拡張を思い出してみましょう。
- プロパティ (1) が (2)を意味することを示しましょう。
y をCの要素、θ を 0 と 1 の間の実数とすると、次のように、 Cの要素である重心θ y + (1 – θ) t ( x ) はt ( x ) よりもxから遠くなります。プロパティ (1) したがって、次のようになります。
増加を推定します。
したがって、結果を得るには、θ で割ってから、θ が 0 に近づく傾向にある場合 (厳密に正の値による) 限界まで通過するだけで十分です。
- プロパティ (2) が (1)を意味することを示しましょう。
- $$ {\|x -y\|^2=\|x -t(x)\|^2-2 \langle x – t(x) \, , \, y – t(x)\rangle+\|y -t(x)\|^2\ge \|x -t(x)\|^2} $$。
ここでは、 Cの凸性は役に立たないことに注意してください。
また、次のような特性もあります。
射影のプロパティ—射影t は冪等です。つまり、マップtとそれ自体の合成はtに等しくなります。それは 1-リプシツィアンです。つまり、2 つの点の画像がそれらの前件よりも短い距離にあります。最後に、それは次の意味で単調です。
- アプリケーションtはべき等です。
実際、 x がEの要素である場合、 t ( x ) は凸の要素であるため、そのイメージはそれ自体になります。
- アプリケーションtは「単調」です。
これは、 < t ( x1 ) -x1 , t ( x1 ) -t ( x2 ) >および < t ( x2 ) -x2 , t ( x2 ) -t ( x 1 > ) が両方とも負である、またはゼロ これら 2 つの不等式を追加すると、それが得られます。
- $$ {\langle t(x_1) – t(x_2) , x_1 – x_2\rangle \ge \| t(x_1) – t(x_2) \|^2,} $$
これは正またはゼロです。
- 写像tは 1-リプシッツです。
コーシー・シュワルツの不等式のおかげで、 も上記の縮小から推定されます。
