導入
2 つの点AとB を取得するたびに、それらを結合する線分[ A , B ]が完全にそこに含まれる場合、幾何学的オブジェクトは凸状であると言われます。したがって、固体の立方体、円盤、または球は凸面ですが、中空またはでこぼこした物体は凸面ではありません。
意味
任意の 2 つの点xとy を接続するセグメント[ x , y ]が意味を持つコンテキスト(たとえば、上のアフィン空間)で作業することを想定しています。
明示的に指定しない限り、以下のすべてはアフィン (またはベクトル) 空間の凸面の唯一のコンテキストに関係します。
空でない凸面Cの次元を、 Cによって生成されたアフィン部分空間の次元と呼びます。
例
- の凸部分集合$$ {\R} $$実数は次の間隔です$$ {\ \R} $$。
- アフィン空間では、すべてのアフィン部分空間は凸面です。これは、ベクトル空間のベクトル部分空間の場合に特に当てはまります。
- 標準化されたベクトル空間(実数または複素数) では、開いたボールであっても閉じたボールであっても、すべてのボールは凸面になります。
トポロジー特性
このセクションでは、周囲空間がその幾何学的構造と互換性のあるトポロジーを備えていると仮定します (これは有限次元空間では常に当てはまります。無限次元ベクトル空間にいる場合、これはそれが位相ベクトルであることを要求することになります)空間）。
接着、インテリア、ボーダー
接着演算子と内部演算子は凸面を維持します。さらに、考慮されている凸面が空の内部を持たない場合 (そして、凸面をグローバル空間の一部ではなく、アフィンエンベロープの一部と考えることで、このケースに簡単に戻ることができます)、凸面、その内部、およびその接着力の 3 つすべてが次のようになります。同じ境界線。
コンパクトな凸がその境界の凸包であることを非常に簡単に示すことができます (次元 0 の縮退の場合を除く)。
つながり
凸部は明らかに円弧で繋がっているので繋がっています。
有限次元の準同型性までの記述
のために
凸型圧縮体の構造は単純です。
定理— C を次のコンパクト凸とします。
特定の有限次元dの閉じた凸面は、限られた数( d + 2 ) の単純なモデルのいずれかと同相です。
定理—みましょう
- r が存在するか、 $$ {0\leq r\leq d} $$C は次のように同相です$$ {B_r\times \R^{d-r}} $$
- C は次の閉じた半空間と同型です。 $$ {\R^d} $$。
すべての場合において、同相写像によりCの相対境界がモデルの相対境界に送信されます。
この定理を有益な例 (次元3 ) で読み取ると、次元3の閉じた凸面は次の 5 つのモデルのいずれかと同相です。
前の定理にリストされているすべてのモデルの相対内部は互いに同相です。つまり、
定理—しましょう
それは微分同相です
トポロジカルな条件がなければ、凸面のこのような単純な分類を期待すべきではありません。単位円の任意の部分Aについて、
- R rのコンパクトな凸面Cが閉じた球B dと同相となるような整数d が存在します。
翻訳は同相写像であり、 Cの翻訳に対する命題を示すだけで十分です。したがって、一般性を失うことなく、 C にはゼロベクトルが含まれると仮定できます。 F をCによって生成されたR nのベクトル部分空間とします。
- 凸Cは F のサブセットとみなされ、内部がゼロではありません。
- 有限次元の実ベクトル空間では、すべてのノルムが等しいため、証明が最も単純なものを選択できます。 ( e j ) を、 Fの基底を定義するCのベクトルのセットとする。基底 ( e j ) の最大座標の絶対値をベクトルに関連付けるNormを選択します。この標準では、中心 1/(2 d ) (Σ e j ) と半径 1/2 dのボールが、底面 ( e j ) で 1/ d未満の正の座標を持つベクトルによって形成されることに注意します。これらのベクトルはすべてCの要素です。これは、ボールの中心が実際に目的の内部にあることを示しています。
ここでベクトル空間Fのみを考慮し、その次元をd で示します。たとえそれが新しい変換を実行することを意味するとしても、ゼロベクトルはCの内部にあると常に想定できます。 B は中心がゼロベクトル、半径 1 の閉じた球、 S は同じ中心と同じ半径の球を表します。 u をSとEのベクトルであるとします。 λ ( u ) は正の実数 λ の集合であり、 λ u はCの要素です。 C はコンパクトであるため、セットは有界であり、セットE λ ( u ) も有界です。 φ( u ) をE λ ( u ) の上限とする。 φ( u ) をuに関連付けるR +のSのマップを定義しました。 Cに含まれるゼロ ベクトルの近傍があるため、関数 φ が値 0に近づくことはありません。
- 写像 φ は連続です。
- φ がuで連続しないようなSの点u が存在すると仮定します。次に、次のような、φ( u ) より厳密に小さい厳密に正の実数μ が存在します。
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理によれば、数列 (φ( u n ) は正で有界であり、コンパクトな値を持ち、収束部分列 (φ( u ψ(n) ) が存在します。極限を λ lとします。このシーケンスのシーケンス (φ( u ψ(n) ) . u ψ(n ) は、 λ lに向かって収束するCの境界の点のシーケンスです。 Cの境界とCの境界上の 2 点間の距離φ ( u ) とv はμ より大きいため、 φ ( u ) uはCの要素になります。 λ lは厳密に φ( u ) より小さく、構造上、厳密に 0 より大きくなります。ゼロ ベクトルはCの境界上の点ではなく、λ l u は境界上の点であるため、0 になることはできません。 Cの内部ではなく、 v を通過するサポート超平面が存在し、空間を 2 つの接続されたコンポーネントに分離します。そのうちの 1 つはコンパクトC の内部に含まれます (右図の赤色)。この超平面にはゼロ ベクトルを通過する線が含まれます。 vと φ( u )。あなた。この超平面には、 Cに厳密に含まれるゼロ ベクトル (図の緑色) の近傍との空ではない交差があります。この矛盾は、関数 φ が連続であることを示しています。
前の命題では、単に段落の結果を示すことができます。
- 緻密な凸面C はボールBと同相です。
- φ( u ) をuに関連付けるBからCへのマップを考えます。 u 、 u がゼロ ベクトルと異なり、ゼロ ベクトルを不変のままにする場合。この適用は、ゼロ以外のベクトルに対して連続的です。マップ φ は有界であるため ( Cはコンパクトであるため)、ゼロ ベクトルでも連続です。写像 φ は全単射です。 φ( u ) は決してゼロではないので ( u がゼロでない場合)、逆写像は、ゼロ ベクトルとは異なるuに φ( u ) -1 を関連付ける写像です。 u 、そしてゼロベクトルに再びゼロベクトル。考慮されているアプリケーションは実際に同相写像であり、これでデモンストレーションが完了します。