導入
定規とコンパスを使った正五角形の構築は、ユークリッドの公理のおかげで達成できる最初の重要な構築の 1 つ (正三角形と正方形に次いで) です。正五角形の正確な構築には、黄金比、特にその幾何学的対応物である黄金三角形が関係します。ユークリッドは、与えられた円に内接する正五角形の作図を提案しています。ただし、他のより高速な構築方法も存在しており、それについては以下で説明します。
他の数学者や測量士も、1 つのコンパス間隔で達成できるおおよその構造を提案しています。これは、例えば、建築の観点から職人に不可欠なものに関する著書（ 10世紀）のアブ ル ワファや、アルブレヒト デューラーが取り上げた建築である『幾何学ドイツ語』 （1486 年）のマテウス ロリッツァーの場合です。定規とコンパスを使った線、平面、固体の測定に関する彼の指示(1525)
ユークリッドに従った構築
ユークリッドは、円に内接する正五角形（正五角形、正五角形）を作成します。その基本要素は黄金の三角形です。つまり、底辺との角度が頂点の角度の 2 倍である (したがって、頂点での角度は平面角度の 5 分の1である) 二等辺三角形です。 180/5=36
黄金の三角地帯の建設
添付図において、I は [AC] の中点であり、AC = AB、IB = ID、AD = AE = BF となります。ユークリッドは、かなり長いプロパティを使用して三角形ABFが黄金の三角形であることを証明します
現在では、AC = 1 に注目すると、次のようにデモンストレーションが簡単になります。
- $$ {IB = \frac{\sqrt 5}{2}} $$ピタゴラスの定理のおかげで
- $$ {AD = AE = BF = \frac{\sqrt 5 – 1}{2}= \frac{1}{\varphi}} $$または$$ {\varphi} $$は黄金の数字です
したがって、三角形 ABF の次元は1 – 1 – となります。
五角形の建設
ユークリッドは円の中に黄金の三角形を構築できることを証明しました。
- 黄金の三角形 OA’C から、中心 A’ と半径 A’C の円弧を使用して黄金の三角形 CDA を作成します。
- 角 C と D の二等分線を円に延長することで、欠けている 2 つの頂点 B と E が得られます。
ペンタゴンが接近
デューラーの方法
アルバート・デューラーは、著書「定規とコンパスを使用した線、平面、固体の測定方法」の中で、正しいと考えるこの構造を提案しています。この構築への関心は、使用される手段の経済性から来ています。つまり、描かれたすべての円は同じ半径を持っています。
ただし、描かれた五角形は確かに等辺ですが、等角ではありません。底角は予想される 108° ではなく約 108.35° であり、頂角は 109° をわずかに超えています。この証明は、幾何学者のジョバンニ・バッティスタ・ベネデッティとクラヴィウスによって提供されています。
- 線分[AB]とこの線分の二等分線(d)を描きます。
- 中心 A と B をもつ半径 AB の円を描きます。それらは I と J で交差します。
- 中心 I、半径 AB の円を描きます。 K と L で前の円と交差し、M で線 (d) と交差します。線 (KM) と (LM) は C と E で円と交差します。
- D は CD = ED = AB となる
セグメントカットあり
エネゴンの構造からインスピレーションを得て、定規とコンパスを使用し、七角形の場合と同じ方法で正五角形のおおよその構造をたどることができます。
- 中心 O、半径 OX、角度 OÂB = 120°の円を描きます。
- 半径XY、中心Xの円の弧を描きます
- 半径YX、中心Yの円の弧を描きます
- これらの円弧は U 字形に交差します
- 線(UA)と(UB)を描きます。 C と D で直径(XY) をカットします。
- C から、任意の直線上で、コンパスを使って 5 つの等しい線分 CE = EF = FG = GH = HI を運びます。
- 線 (ID) を引き、G を通る平行線を引きます (定規とコンパスを使用)。それは G’ で (XY) と交差します。
- 線 (UG’) を描きます。G” で円と交差します。
- コンパスを使用して、円に沿った長さAG” を使用し、円に内接する正五角形の 5 つの頂点を見つけます。
注: 点 B を含む五角形を作成するには、点 F’ を取得する必要があります。
この構造により、中心角 AOG” は、予想される 72 度ではなく約 72.14度、つまり 1,000 分の 1.92 の相対誤差になります。
この方法を使用すると、任意の正多角形を作成できます。セグメント CD を、ポリゴンに必要な辺と同じ数の同一のセクターに分割するだけです。次に、C (G’) から始まる 3 番目の点を取得し、それを U に接続する線分をトレースし、円とこの線分の交点 ( XY より下の半平面内) で G” を取得します。この方法で中心角に生じる誤差は、辺の数に応じて、1,000 あたり 1.92 から 1,000 あたり 11.7 まで変化します。