導入
化学では、点対称群は直交群のサブグループです。これは等長性、つまり距離と角度を不変のままにする線形マップで構成されます。分子の点対称群は、幾何学的形状としての分子を不変のままにする等長性から構成されます。
結晶学
結晶学では、点群には結晶の形態とその物理的特性を不変のままにする対称操作が含まれます (結晶の原子構造の対称性は空間群によって記述されます)。それらは、ネットワークの完全な対称性を表すかどうか、またはそのサブグループであるかどうかに応じて、正面体グループと正面体グループに分類されます。周期ネットワークの存在には回転の順序に関する制限があり、2 次元および 3次元では値 1、2、3、4、6 に制限されますが、これらの制限は分子のような周期的ではないオブジェクトには適用されません。
この質問はより一般的な数学の問題に関連しており、使用される用語は少し異なります。ネットワークの直交群の解析に相当します。ネットワークはベクトル空間と同等ですが、スカラーが整数であり、本体の要素ではないという点が異なります。直交グループは、距離と角度を保存する線形マップのグループです。
対称性とキラリティー操作
1 回限りの操作には 2 つのタイプがあります。
- 第 1種操作。作用するオブジェクトのキラリティーを変更しません。これらは純粋な回転です (図 1)。
- 第 2種の操作は、作用するオブジェクトのキラリティーを変更します。これらはロト反転であり、回転とその後の反転で構成される操作です。つまり、反転の中心と呼ばれる点に対する対称性です (図 2 を参照)。
第 1 種の操作のそれぞれに、関連付けられた第 1 種の操作と同様にオブジェクトの重心を変換する第 2 種の操作を関連付けることができます。オブジェクトがキラルでない場合、これら 2 つの対称操作を適用した結果は同じになります。
注: 3 次元を超える空間 (結晶学では使用されません) では、次元の一部ではキラリティーが維持されているが、別の部分では反転している新種が出現します。これらは、少なくとも次の次元を持つ平面または部分空間と比較すると「部分的」対称です。元の空間と比較して 2 次元が少なく、これらの部分対称性は必ずしも元のキラリティーを復元することなく組み合わせることができますが、他の種類の操作を与えることができます。したがって、それらの組み合わせの順序が重要であり、操作は必ずしも対称的である必要はありません (非ユークリッド空間では必ずしも結合的である必要さえありません)。
角度2π / nの回転は、ヘルマン・モーガン表記ではn 、シェーンフライズ表記では C で示されます。
- n は回転の順序を表します。つまり、元の状況を見つけるために回転を適用する必要がある回数を表します。
- 結晶では、格子によって表される構造の周期性により、 nの値は 1、2、3、4、6 (2 次元および 3 次元空間内) に制限され、これらは回転に対応します。空間を無限に周期的にタイリングできるようになります。
次数nの回転と反転からなるロト反転は、 nで示されます。
- 化学では、第 2 種の操作は、回転反転よりも回転反射と呼ばれることが多いです。これは、回転とそれに続く反射 (つまり、平面に対する直交対称、図 4 を参照) に分解することを好むためです。反射面は回転軸に対して垂直です。それらは次のように示されます。 $$ {\tilde{n}\,} $$ヘルマン・モーガン記法では、またはシェーンフライズ記法では S によって表されます。ここで、 n は、この 2 番目の分解で現れる回転の次数を表します。
- 1 は純粋な反転です。
- 2 は、 πの回転とそれに続く反転 (図 3) に対応します。これは、回転軸に垂直な平面に対する反射に相当します。この操作は、ミラーに対する反射mとして表現されることが多くなります。
点対称操作は最終的に次のように分類されます。
- 純粋な回転。次数nで表されます。
- 反射。文字mで示されます（鏡のような）。
- 逆変換。 1 (ヘルマン・モーガン表記)、 i 、または C i (シェーンフライ表記) で示されます。
- ロト反転は、回転とその後の反転で構成される操作であり、 nで表されます。ここで、 n は回転の順序です。