エルゴード仮説について詳しく解説

導入

エルゴード仮説、またはエルゴード性仮説は、統計物理学の基本的な仮説です。これは、ルートヴィッヒボルツマンによって 1871 年に気体の運動理論の目的で最初に定式化されました。次に、それを非常に多数の粒子で構成される系に適用し、平衡状態では、統計的に計算された量の平均値が、長期間にわたって取得された非常に多数の測定値の平均に等しいことが確認されました。最初の値は統計物理学によって計算できる値であり、 2 番目の値は実験的に測定できる値に近いです。したがって、エルゴード仮説は、理論と経験を適切に結び付けるための基礎となります。

エルゴード仮説が検証されたシステムをエルゴードシステムと呼びます。ほとんどの場合、システムがエルゴード的であるかどうかを厳密に証明することは非常に困難です。この問題の数学的分析により、仮説の数学的性質を特定し、その妥当性の条件に関する結果を与えるエルゴード理論が誕生しました。しかし、エルゴード仮説は単純な仮説のままであることが多く、正しい予測が可能になる場合には事後的に確率が高いと判断されます。この意味で、それは統計物理学の弱点となります。

エルゴード性仮説は信号処理でも機能します。エルゴード性仮説は、時間の経過に伴うランダム信号の進化が一連の実現と同じ情報を提供することを認めることから構成されます。これは、マルコフ連鎖、定常プロセスの研究、および数値学習において重要です。

仮説の数学的定式化

位相空間におけるシステムの表現

時間tで次のように記述されるN自由度を持つシステムを考えてみましょう。

N 個の一般化座標q ⁱ ( t ) , ( i = 1,…, N )

N共役モーメントp _j ( t ) , ( j = 1,…, N ) 。

各瞬間において、 2 N座標( q ⁱ ( t )、 p _j ( t ))は位相空間内の点x ( t )を定義し、その瞬間tでのシステムの状態を表します。

さらに、システムは平衡状態にある、つまりその特性は時間が経っても不変であると考えます。このようなシステムは、次のように書かれるエネルギー保存則を常に満たします。

$$ { \forall \ t, \quad H(q^i(t),p_j(t)) \ = \ E} $$

そのため、そのダイナミクスは実際には常に超曲面に制限されます。

$$ {S_E \subset \Gamma} $$

2 N − 1次元で。以下では、考慮されるハミルトン系は時間の変換によって不変であり、エネルギー以外の運動定数は持たないと仮定します。

システムの進化、ハミルトン流

初期条件からのハミルトンの正準方程式に従ったシステムの動的発展

$$ { x_0 \ = \ (q^i_0,p_{j0})} $$

ハミルトン流を生成します

$$ {\phi_t : \Gamma \to \Gamma } $$

、つまり、次のような 1 つのパラメータを持つ連続グループです。

$$ { x(t) \ = \ \phi_t(x_0)} $$

位相空間内の位置x ( t )の連続により、軌道と呼ばれる連続曲線が形成されます。

測定可能量と平均値

測定可能な物理量は、システムの状態に対応する値を各点に関連付ける位相空間上の関数に対応します。この関数をf と表記します。この数量には 2 つの異なる平均値があります。時間平均は、十分に長い時間にわたって取得された一連の測定値を平均することによって実行できます。数学的には、(限界が存在する場合) 限界によってそれを表します。

$$ { \overline{f(x_0)} \ = \ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}^{n-1} \ f \left( \phi^k (x_0) \right) } $$

この平均値は、初期条件x ₀に事前に依存します。

fのアンサンブル平均、つまりミクロカノニカル平均を次のように定義することもできます。

$$ { \langle \ f \ \rangle \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \ \int_X f\,d\mu } $$

空間平均と時間平均が等しくなる理由は演繹的にありません。エルゴード仮説は、それらがそうだと仮定することで構成されます。

バーコフのエルゴード定理

システムの時間の経過に伴う発展は、ハミルトニアンフロー、つまりアプリケーションφによって決まります。この応用は、 φの下で可測集合不変量がゼロ測度であるか、ゼロ測度の補数である場合に限り、与えられた測度に対してエルゴードであると言われます。

バーコフの定理は、アプリケーション φ がエルゴードである場合、空間平均と時間平均はほぼどこでも実質的に等しいことを示します。

強いエルゴード仮説と弱いエルゴード仮説

上で示したバーコフの定理により、エルゴード仮説を平均の等価性としてではなく、ハミルトニアン流φの特性の関数、つまり位相空間におけるシステムの代表点の発展の関数として定式化することが可能になります。。

次に、 2 つの異なるエルゴード仮説を区別できます。

時間的変換によって不変なハミルトニアン系は、この系の代表点が一定のエネルギーの超曲面の各点を経時的に通過する場合、強い意味でエルゴード的であると言われます。

時間的変換によって不変なハミルトニアン系は、この系の代表点が時間の経過とともに一定エネルギーの超曲面の各点にできるだけ近くを通過する場合、弱い意味でエルゴード的であると言われます。

ボルツマンとマクスウェルは、研究の中で 2 つのステートメントを区別せずに使用しました。以前の 2 つのエルゴード仮説の数学的非等価性は、1910 年に Paul Hertzによって明確に認識されませんでした。