宇宙論的地平線または宇宙地平線は、特定の点 (通常は地球) から観測できる宇宙の限界を示す天文学用語です。文脈に応じて、それは電磁放射が来る限界、またはあらゆる性質の信号(ニュートリノまたは重力波) が受信できる限界のいずれかに対応します。実際には、現在の観測手段は現在（2007年）ニュートリノや原始重力波を検出することはできません。より一般的には、特定の宇宙論モデルには、そのような地平線、つまり特定の観測者による観測が不可能な領域が含まれる場合と含まれない場合があります。
宇宙論的な地平線は、地球の地平線との類推によって定義されます。地球の曲率によって表面の固定点からの視界が制限されるのと同じように、宇宙の大きさと光の移動速度によって、特定の天体 (この場合は銀河および銀河団) を見ることが不可能になります。遠く離れた。
宇宙の年齢は137億年です。宇宙が膨張していなければ、地球に到達する光子は137 億光年を超えて移動することはできません。しかし、宇宙の膨張により、この光子を放出した物体はこの間に移動しており、そのため現在は 137 億光年以上離れたところに位置しています。
実際には、私たちに届く最も遠い信号は 宇宙マイクロ波背景放射から来ています。この放射線は宇宙全体を満たしますが、私たちに届く放射線が届く領域は、明らかな理由から、最終拡散表面と呼ばれます。宇宙論の標準モデルとフリードマン方程式に基づいた現在の宇宙論モデルは、最後の散乱の表面が現在 (下記を参照) 観測者から約 460 億光年離れていることを示しています。
通常、宇宙論的地平線と呼ばれるのはこの図です。
宇宙の地平線の大きさの計算
宇宙論において距離を定義することは一般に困難です。距離の概念はコンテキストに大きく依存します。したがって、角距離(既知のサイズの物体の角サイズに基づく) または光度距離 (既知の明るさの物体から受け取る光束に基づく) の概念は異なります。地平線の大きさについて話すとき、私たちは、特定の観測者とその観測者が観測できる最も遠い物体との間の距離を意味し、その観測者の現在位置に関連します。つまり、その観測者の宇宙時間がその時刻と同じであるときの距離を意味します。観察者の。その理由の 1 つは、光度距離または角距離の概念が最も遠くにある観察可能な物体にはあまり適しておらず、前者は無限に向かう傾向があり、他方は 0 に向かう傾向があるためです。
地平線のサイズは次のような式を使用して計算されます。
- $$ {D_\mathrm{h} = \int_{t_*}^{t_0} \left(1 + z(t)\right) c \;\mathrm{d}t} $$、
ここで、 c は光の速度に対応し、 t *とt 0 はそれぞれ、最も遠い検出可能な信号の放射のエポックと現在のエポックに対応し、関数z ( t )は、今日受信した信号の赤方偏移を与えます。時刻tに送信されています。この結果を直感的に解釈する方法は、光子がその距離を移動すると言うことです。
均一かつ等方性の宇宙モデルのコンテキストでは、フリードマン-ルメートル-ロバートソン-ウォーカーと呼ばれる計量を使用してそれを記述することができます。このメトリックに関連付けられた長さ要素が書き込まれます
- d s 2 = c 2 d t 2 − a 2 ( t )γ i j d x i d x j 、
ここで、 a ( t ) は宇宙論的距離の時間的変化 ( cl はスケール係数) を表し、 γ i j は最も近い係数a 2 ( t )に対応し、宇宙の空間セクションの計量の係数に対応します。これらはユークリッド、球面、双曲線のいずれかであり、コンパクトな形式で書くことができます。
- $$ {\gamma_{ij} \mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j = \mathrm{d}\chi^2 + \mathrm{s}_K^2 (\chi) \left(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\varphi^2\right)} $$、
ここで、空間セクションの座標は χ、θ、および φ で示されます。最後の 2 つは通常の球面座標の通常の角座標に対応し、χ は空間セクションの性質 (ユークリッドかどうか) を考慮した動径座標に対応します。関数 s が書かれています
- $$ {\mathrm{s}_K (\chi) = \left\{\begin{array}{l} \chi\qquad\mathrm{si}\qquad K = 0,\\ \frac{\sin(\sqrt{K} \chi)}{\sqrt{K}} \qquad\mathrm{si}\qquad K width=} $$0,\\ \frac{\sinh(\sqrt{|K|} \chi)}{\sqrt{|K|}} \qquad\mathrm{si}\qquad K < 0. \end{array} \right .” >
したがって、パラメータK は空間セクションの性質を表します。 Kが 0 の場合、空間セクションはユークリッドであり、座標 χ は通常の動径座標 (一般にrで示される) で識別されます。
この計量では、天体物理的物体は、その座標 χ、θ、φ が時間の経過とともに変化しないという意味で、本質的に不動です (起こり得る固有運動は省略しますが、これは宇宙論的スケールでは無視できます)。座標t は宇宙時間と呼ばれます。他の座標との関係で静止物体によって測定された時間を表します。変数の変更を実行すると便利です。次のように、宇宙時間はコンフォーマル時間と呼ばれる量η に置き換えられます。
- c d t = a ( t ) dη 。
スケールファクターは、 tまたは η の関数として無差別に表現できます (もちろん関数形式は異なります)。次に、長さ要素が書き換えられます
- $$ {\mathrm{d}s^2 = a^2(\eta) \left[\mathrm{d} \eta^2 – \mathrm{d} \chi^2 – \mathrm{s}_K^2(\chi) \left(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\mathrm{d}\varphi^2 \right)\right]} $$。
特殊相対性理論は、光子の軌道に関連する長さの要素がゼロであることを教えています。座標系の原点の方向のある点で放出された光子の軌道を考えると、座標 θ と ϕ は一定です。したがって、すぐに
- $$ {\mathrm{d}s^2 = 0 \Rightarrow \mathrm{d}\eta = \mathrm{d}\chi} $$。
したがって、光子の放出と受信の間のコンフォーマル時間で表した間隔は、軌道に沿った座標 χ の変化に対応します。座標 χ に位置する物体は、時刻t 0において、座標 χ から離れています。
- D = a ( t )χ 。
この物体が私たちが受け取る光を放射できるようにするには、信号の放射と受信の間の等角時間間隔Δη がχ に等しくなければなりません。したがって、私たちが光を受け取る物体から私たちを隔てる距離は次のようになります。
- D = a ( t 0 )Δη 。
コンフォーマルタイムを宇宙時間に関連付ける公式を使用すると、次のようになります。
- $$ {\Delta \eta = \int \frac{c\;\mathrm{d} t}{a(t)}} $$、
信号の送信の瞬間（ t *で示される）と受信の間、つまり今日（ t 0 ）の間で取られる積分。したがって、私たちは
- $$ {D = a(t_0) \int_{t_*}^{t_0} \frac{c\;\mathrm{d} t}{a(t)}} $$。
一般に、赤方偏移は、次の式に従って、特定の時点と今日における 2 つの遠方の銀河間の距離の比によって定義できます。
- $$ {\frac{1}{1 + z(t)} = \frac{a(t)}{a(t_0)}} $$、
これは、特定の時代における宇宙の年齢t を、今日観察されるこの時代に発せられた信号の赤方偏移と結び付けることを意味しますが、この関係は今のところ不明です。最終的に得られるのは、
- $$ {D = \int_{t_*}^{t_0} \left(1 + z(t)\right) c\;\mathrm{d} t} $$。
この量を計算するには、関係z ( t ) 、つまり、物体が発する光の赤方偏移と、今日受け取った放射線を発した時の宇宙の年齢との関係を知る必要があります。言い換えれば、スケールファクターと宇宙時間の関係を知る必要があります。この関係は、まさにこれが主題であるフリードマン方程式によって確立されます。次に、特定の仮説の下で、次の関係がわかります。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\Omega^0_\mathrm{r} + \Omega^0_\mathrm{m} x + (1 – \Omega^0_\mathrm{r} – \Omega_\mathrm{m}^0 – \Omega_\Lambda^0) x^2 + \Omega^0_\Lambda x^4}}} $$、
ここで、 H 0 は宇宙の現在の膨張率 (ハッブル定数) を表し、さまざまな量 Ω は宇宙に存在するさまざまな種、つまり放射線と質量ゼロの粒子 (r )、非相対論的物質の密度パラメータに対応します。今日測定された (バリオン物質と暗黒物質、m) と宇宙定数(Λ)。
表現から始まる
- $$ {D_\mathrm{h} = a(t_0) \int_{t_*}^{t_0} \frac{c\;\mathrm{d} t}{a(t)}} $$、
宇宙の膨張率Hを与える式を使用して、時間t をスケール係数aに置き換える変数の変更を実行します。
- $$ {H = \frac{1}{a} \frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}} $$、
したがって
- $$ {\mathrm{d}t = \frac{1}{H} \frac{\mathrm{d}a}{a}} $$。
次に、
- $$ {D_\mathrm{h} = a(t_0) \int_{t_*}^{t_0} \frac{c}{H (a)} \frac{\mathrm{d} a}{a^2}} $$、
この場合、膨張率は時間tの関数としてではなく、スケール係数aの関数として見られます。次に、 x を今日に正規化されたスケール係数として定義します。
- $$ {x = \frac{a(t)}{a(t_0)} = \frac{1}{1 + z}} $$したがって、
- $$ {D_\mathrm{h} = \int_{t_*}^{t_0} \frac{c}{H (x)} \frac{\mathrm{d} x}{x^2}} $$。
H 0 を膨張率の現在の値に注目すると、次のようになります。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{H_0}{H (x)} \frac{\mathrm{d} x}{x^2}} $$、
エポックt *におけるxの値に対応する積分限界。フリードマンの方程式により、次のように膨張率を宇宙の物質内容のエネルギー密度ρ iに関連付けることができます (フリードマン方程式を参照)。
- $$ {3 \left(\frac{H^2}{c^2} + \frac{K}{a^2} \right) = \kappa \sum_i \rho_i} $$、
定数κはアインシュタインの定数です。関係する種のエネルギー密度は時間の関数であり、したがってスケール係数の関数です。エネルギー密度に対する圧力の比がw iである種の場合、密度はスケール係数の関数として変化します (保存方程式 (宇宙論) を参照)。
- $$ {\rho_i \propto a^{-3(1 + w_i)}} $$。
したがって、一般性を失うことなく、現在のエネルギー密度の関数として密度を書くことができます。
- $$ {\rho_i = \rho_i^0 x^{-3(1 + w_i)}} $$、
量w i は定数または時間 (またはxの関数) であり、これは同じことになります。
現在の臨界密度を次のように定義すると、
- $$ {\rho_\mathrm{c} = \frac{3 H_0}{\kappa}} $$、
それは、で割って来ます
- $$ {\frac{H^2}{H_0^2} + \frac{K c^2}{H_0^2 a^2} = \sum_i \Omega^0_i x^{-3(1 + w_i)}} $$、
数量
- $$ {1 + \frac{K c^2}{H_0^2 a_0^2} = \sum_i \Omega^0_i} $$、
したがって、私たちは
- $$ {\frac{K c^2}{H_0^2 a^2} = \frac{K c^2}{H_0^2 a_0^2} \frac{1}{x^2} = – \left(1 – \sum_i \Omega^0_i \right) \frac{1}{x^2}} $$、
最終的に入手する
- $$ {\frac{H^2}{H_0^2} = \sum_i \Omega^0_i x^{-3(1 + w_i)} + \left(1 – \sum_i \Omega^0_i \right) \frac{1}{x^2}} $$。
したがって、所望の量Dは次のように表されます。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\sum_i \Omega^0_i x^{1 – 3 w_i} + \left(1 – \sum_i \Omega^0_i \right) x^2 }}} $$。
宇宙の物質内容が放射線（エネルギー密度の 3 分の 1 に等しい圧力、 w r = 1/3 ）、非相対論的物質（無視できる圧力、 w m = 0 ）、および宇宙定数に還元される場合(エネルギー密度の反対側の圧力、 w = − 1 )、次のようになります。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\Omega^0_\mathrm{r} + \Omega^0_\mathrm{m} x + \left(1 – \Omega^0_\mathrm{r} + \Omega^0_\mathrm{m} + \Omega^0_\Lambda \right) x^2 + \Omega^0_\Lambda x^4 }}} $$。
宇宙論の標準模型への応用
すべての宇宙論的観測から構築された (そしてそれらと互換性のある) 宇宙論の標準モデルは、放射線の形のエネルギー密度が他の形 (物質や暗黒エネルギー) に比べて無視できることを示しています。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\Omega^0_\mathrm{m} x + (1 – \Omega^0_\mathrm{m}) x^4 }}} $$。
c / H0という量はハッブル半径と呼ばれます。一般に受け入れられているハッブル定数の値が 1 メガパー秒あたり1 秒あたり 70キロメートルであるため、ハッブル半径は約 140 億光年です[ 1 ] 。積分の項は解析的に計算できませんが、一般的に受け入れられているΩ mの値約 0.3 を採用することで、数値積分を問題なく実行できます。次に、積分限界が 0 (ビッグバン以降に放出された信号が移動した最大距離を考慮します) であっても、1000 分の 1 (ビッグバンの間に放出された宇宙マイクロ波背景放射の光子に相当します) であっても、積分値は 3 よりわずかに大きいことがわかります。最終的に、上で発表された約 450 億光年の値がわかります。
特殊な場合
宇宙が臨界密度を持ち、圧力とエネルギー密度の比がwである 1 つの種のみで構成されている場合、次のようになります。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{1 – 3 w}}}} $$。
この積分はより多くの場合に評価できます
放射線宇宙 ( w = 1/3)
私たちはすぐに
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \mathrm{d} x \simeq \frac{c}{H_0}} $$、
上記の等価性は、下限値の正確な値を考慮していないため、近似値となります (ここでは 0 を採用していますが、わずかに正の値を採用することもできます)。この場合、地平線のサイズはハッブル半径に正確に対応します。
ダスト宇宙 ( w = 0)
今では
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}} \simeq 2 \frac{c}{H_0}} $$。
この場合、地平線のサイズはハッブル半径のちょうど 2 倍になります。
状態方程式が一定の宇宙
より一般的には、 wが定数で– 1 / 3より大きい場合、次のようになります。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 x^{\frac{3 w – 1}{2}}\mathrm{d} x \simeq \frac{2}{3 w + 1} \frac{c}{H_0}} $$。
一般的に言えば、状態方程式が「難しく」なるほど（つまり、 wが大きくなるほど）、ハッブル半径の単位での地平線のサイズは小さくなります。これは、宇宙の年齢t 0とハッブル半径の関係を使用することで、より明確にすることができます。フリードマンの方程式は次のことを示しています
- $$ {t_0 = \frac{2}{3 (1 + w)} \frac{1}{H_0}} $$。
これら最後の 2 つの結果を組み合わせると、次のようになります。
- $$ {D_\mathrm{h} \simeq \frac{3 w + 3}{3 w + 1} c t_0} $$。
w が無限大に向かう傾向がある場合、この結果はc t 0に向かう傾向があります。これは、この限界が実際には、物質が非圧縮性である傾向がある理想的なケース (密度の小さな変動を引き起こす圧力の任意の大きな変動。これは、 P = w ρが大きい場合に当てはまります。
ミルン宇宙 ( w = – 1/3)
ミルンの宇宙は物質のない空間に相当します。この場合、すべての密度パラメータはゼロであり、形式的には、フリードマン方程式の観点から、臨界密度と -1 /3 に等しい状態方程式パラメータw を持つ宇宙として解釈できます。彼が来ます
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \int_*^1 \frac{\mathrm{d} x}{x} = \frac{c}{H_0} \ln\left(1 + z_*\right)} $$。
計算するプリミティブは対数を与えます。ここでは、下限の値を慎重に考慮する必要があります。ゼロの場合 (
宇宙の加速( w < -1/3)
状態方程式のパラメータが -1/3 より小さい場合、積分は下限ゼロに向けて発散します。
- $$ {D_\mathrm{h} = \frac{c}{H_0} \frac{2}{3 w + 1} \left[1 – \left(\frac{1}{1 + z_*}\right)^{\frac{3 w + 1}{2}} \right]} $$。
したがって、そのような空間、特にド・ジッター宇宙には宇宙論的な地平線は存在しません。
特異点の定理との関係
これらの結果、特に状態方程式wのパラメーターが常に -1/3 より大きい場合に宇宙には地平線があるという事実は、スティーブン ホーキング博士とロジャー ペンローズ氏の特異点に関する定理の特殊なケースであることがわかります。実際、 wに課せられる制約は、これらの定理の妥当性を可能にするものと想定される、エネルギーに関する強い条件と等価です。もう 1 つの帰結は、一般相対性理論の枠組みの中で、宇宙は必然的に重力特異点の結果であるということです[ 2 ] 。しかし、原始宇宙ではエネルギーに対する強い条件が必ずしも尊重されなかったことが、今日では相対的に証明されています（下記参照）。この文脈では、観測可能な宇宙が有限領域に広がっているという事実は、それが特異点から来たという事実を予断するものではありません。
地平線問題との関係
宇宙をできるだけ遠く離れた 2 つの反対方向から観察すると、地平線の 2 倍の大きさで離れた領域が見えます。これら 2 つの領域は、定義上、相互に通信する可能性がありません。この場合、これらの領域が異なるプロパティを持つと予想するのが論理的です。観察的にはそうではありません。この観測事実は地平線問題と呼ばれます。地平線問題の解決策は、観測可能な宇宙のサイズ (最後の拡散の表面の制限によって制限され、非ゼロ積分の下限1 / (1 + z * )積分限界をゼロとすることによって考慮した地平線の実際のサイズにはまったく対応しません (または、たとえば、私たちが知っているような物理法則が 2015 年の終わりに有効になり始めることを考慮すると、任意に小さくなります)。これを行うために、宇宙の膨張率の進化が古代で大きく異なるシナリオを検討することになります（積分のxの値が小さいことに対応します）。次に、式が適用される状況を検討するように導きます。