ドルード モデル(物理学者ポール ドルードにちなんで命名) は、1900 年にガスの運動理論を金属の電子に応用したものです (その 3 年前の 1897 年に J.J. トムソンによって発見されました)。金属の電子を、サンプルのすべての原子によって定義される体積内に閉じ込められた古典的な点粒子として考えることにより、電気的および磁気によって全体的な動き（粒子の個々の動きに重ね合わされる）で駆動されるガスが得られます。フィールドに衝突し、衝突によってこの動きの速度が低下しました。ドルーデが考えた衝突は、原子の核での衝突です。その後否定された仮説 (電子の動きの純粋に古典的な記述) に基づいていますが、電気伝導率、熱伝導率、ホール効果などの金属のいくつかの特性を説明することが可能になります。
モデルは次の仮定に基づいています。
- この系は、単位体積あたり電荷– eのn 個の電子の集合に例えられ、相互作用することなく質量mの点粒子の媒体中に置かれます。
- 電子は古典的に説明できます。
- 電子は衝突します。 tとt + d tの間で衝突が発生する確率は次の式で与えられます。
$$ {\frac{dt}{\tau}} $$
。
電子が受ける衝突は、ドルーデの目には結晶格子の原子核との衝突でした。実際には、これらは電子とフォノン間の衝突と呼ばれるものです。
衝突の存在により、次のような粘性摩擦力が発生します。
$$ {-\frac{\mathbf{v}}{\tau}} $$
または
$$ {\mathbf{v}} $$
は電子の速度、
τ は2 つの連続した衝突間の平均
時間です。
オームの法則を適用すると、
$$ {\mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}} $$
、導電率の式:
$$ {\sigma = \frac{ne^{2}\tau}{m}} $$
。
モデルは聖書的に単純です。
電子は、2 回の衝突の間の時間間隔中に電場 E によって均一に加速されます。この期間が終了すると、統計的には初期の運動状態に緩和されます。
したがって、どの瞬間でも、各 i 番目の電子には速度があります。
$$ {v_i=v_{0i}+({{-eEt_i}\over m_e})~} $$
または
$$ {v_i=v_{0i}~} $$
は最後の衝撃の終わりにおける電子 i の初速度であり、
$$ {t_i~} $$
この時点からの経過時間。
電子を記述する統計セットの意味での平均速度は次のとおりです。
$$ {
_{統計}= _{統計}= _{stat}+<{{-eEt_i}\over m_e}>_{stat} ~” > < v 0 i > s t a t = 0 (結果として生じる最終速度がゼロ平均の周囲に分布する、完全にランダムな衝撃を仮定)
$$ {
_{stat}=\tau ~” > (エルゴード仮説) 次の式が得られます
$$ {
_{統計}=
_{stat}={{-eE\tau}\over m_e}~” > そこから現在の値を推定します。 $$ {j=(-ne)
_{stat}={{ne^2E\tau}\over m_e}~” > そして最後に導電率$$ {\sigma_0={{ne^2\tau}\over m_e}~} $$
これは依然としてプラズマ周波数の関数として書くことができます
$$ {\omega_p ~} $$
:
$$ {\sigma_0=(\tau . \epsilon_0). \omega_p^2~} $$
誘電率と導電率の関係
電磁場の導電率を計算するには、マクスウェルの方程式から始めます。
| 法 | 数学的表現 |
|---|
| 「クーロンの法則」 | $$ {\nabla.D=\rho} $$ |
| 「アンペールの法則」 | $$ {\nabla \wedge H-{{ \partial D}\over{ \partial t}}=J} $$ |
| 「ファラデーの法則」 | $$ {\nabla \wedge E + {{ \partial B}\over{ \partial t}}=0} $$ |
| 「磁気単極子の不在」 | $$ {\nabla . B=0} $$ |
これらの方程式から、導電率と次の関係を導き出します。
$$ {\sigma~} $$
と誘電率
$$ {\epsilon~} $$
:
$$ {\epsilon . ({\omega^2 \over c^2})- k^2= i \omega \mu_0 \sigma ~} $$
導電率の計算
電子ガスをその密度行列で記述すると
$$ {\rho(P,Q)~} $$
、これは進化方程式を検証します。
$$ {{d_t \rho(P,Q)P}=\{H,\rho P \}_{Q,P} + \Sigma_+ -\Sigma_-~} $$
または
$$ {\{ \}_{P,Q}~} $$
ポアソンフックを表します
$$ {\Sigma_+ ,\Sigma_-~} $$
発生源と破壊の条件。ここでハミルトニアンを仮定しましょう
$$ {H= H_0+H_1~} $$
そしてそれ
$$ {\rho= \rho_0+\rho_1~} $$
と
$$ {H_1~} $$
そして
$$ {\rho_1~} $$
破壊的な用語。最初の方程式は次の形式に書き換えられます。
$$ {{d_t \rho(P,Q)P_\alpha }=\{H_0,\rho_1 P\}_{Q,P}+\{H_1,\rho_0 P_\alpha \}_{Q,P} -{{\rho_1 P_\alpha}\over \tau}~} $$
の独立性に注目して、
$$ {\rho_0 P_\beta ~} $$
の
$$ {\rho_1P_\beta~} $$
そしての
$$ {H_0~} $$
に比べ
$$ {Q_\alpha ~} $$
(電荷分布の均一性と摂動のないハミルトニアンの空間的不変性)、摂動分布の一次解は次のようになります。
$$ {(-i \omega + {1 \over \tau}){\rho_1 P_\alpha }= (ik_\beta x_\alpha + \delta_{\alpha \beta})eE_\alpha({{\partial \rho_0}\over {\partial P_\beta}}) ~} $$
長波長(したがって小さい k) の近似を仮定すると、導電率の形がわかります。
$$ {\sigma={{ \epsilon_0 \tau \omega_p^2}\over{ (-i \omega \tau+ 1 )}}~} $$
金属の熱伝導率
電流輸送方程式 (つまり、粒子輸送) を熱輸送方程式で 2 倍にするのが適切です。
$$ {j_q=-\kappa \nabla T} $$
次に、熱伝導率と熱伝導率の比を取得します。
$$ {{\kappa \over {\sigma T}}={3\over 2}({k_b \over e})^2} $$
この結果は実験的に得られた値の約半分です。輸送理論と量子モデルを使用すると、実際の比率に近い値にアクセスできます。
$$ {{\kappa \over {\sigma T}}} $$
得られる値は次のようになります。
$$ {{\kappa \over {\sigma T}}={\pi^2\over 3}({k_b \over e})^2} $$
