導入
レオンハルト・オイラー
数学、より正確には解析的整数論では、オイラー積は、素数によってインデックス付けされた無限積への拡張です。
これにより素数の分布の測定が可能になり、 リーマンのゼータ関数と密接に関連しています。
スイスの数学者レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられました。
その他のオイラー製品
ディリクレは、 mとnが互いに素である場合、 Z / nZのクラスmの素数の数は無限であることを証明したいと考えています。彼は現在自分の名前を冠している文字を使用しており、詳細記事のオイラー積の段落で説明されている計算中に、次の積が得られます。
$$ {\prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}} $$
ここで、χ はディリクレ文字を示し、文字の集合は次のように表されます。
$$ {\scriptstyle \widehat U} $$
s は厳密に 1 より大きい
実数を表します。次に、ディリクレはオイラー積のファミリーを確立します。
$$ {\forall s \in ]1, +\infty[ \quad \forall \chi \in \widehat U \quad L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\chi(k)}{k^s} \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} } $$
実際、関数 χ は完全に乗算的であり、オイラー計算も同様に適用されます。
- 関数L ( s , χ) は、文字 χ のディリクレ L 級数と呼ばれます。
sが実数部 > 1 の複素数の場合、収束は絶対的です。解析的拡張により、この関数は複素平面全体上の有理型関数に拡張できます。
ディリクレ L 級数はリーマン ゼータ関数の直接一般化であり、一般化されたリーマン予想の中で顕著であると思われます。
一般に、次の形式のディリクレ級数
$$ {\sum_{n} a(n)n^{-s}\,} $$
または
$$ {a(n)\,} $$
は
nの乗算関数であり、次の形式で記述できます。
$$ {\prod_{p} P(p,s)\,} $$
または
$$ {P(p,s)\,} $$
合計です
$$ {1 + a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \ldots\,} $$
。
実際、これらを形式的な生成関数と考えると、そのような形式的なオイラー積展開の存在は、
$$ {a(n)\,} $$
は乗法的です: これはまさにそれを示しています
$$ {a(n)\,} $$
の製品です
$$ {a(p^k)\,} $$
n がべき乗の積を因数分解するとき
$$ {p^k\,} $$
異なる素数 p.
実際には、すべての重要なケースは、無限級数と無限積展開が特定の領域で絶対に収束するようなものです。
- R e ( s ) > C :
つまり、特定の右半平面の複素数においてです。無限積が収束するにはゼロ以外の値を与える必要があるため、これですでにある程度の情報が得られます。したがって、無限級数によって与えられる関数は、そのような半平面ではゼロではありません。
重要な特殊なケースとしては、
$$ {P(p,s)\,} $$
は幾何級数です。
$$ {a(n)\,} $$
は完全に乗算的です。それでは、
$$ {P(p,s) = \frac{1}{1 – a(p)p^{-s}}\,} $$
リーマンゼータ関数の場合と同様です（
$$ {a(n) = 1\,} $$
）、より一般的にはディリクレのキャラクターに当てはまります。モジュラー形式の理論では、分母として 2 次多項式を使用したオイラー積を使用するのが一般的です。一般的なラングランズ プログラムには、
m次の多項式の接続と次数の表現理論の比較説明が含まれています。
$$ {GL_m\,} $$
。
オイラーの作品
オイラー微積分
オイラーは素数の分布を評価しようとします。素数の集合はここではPで表されます。このために、彼は次の式を確立しました。
$$ { \forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}}} $$
ここで、 Re ( s ) はsの実部を表します。
オイラーは左側の項にゼータ関数という名前を与え、複素半平面上で次のように定義します。
$$ {\forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \quad \zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s}} $$
この関数は、複素平面全体にわたって解析的に拡張され、有理型関数になります。
k を厳密に正の整数、 P k を最初のk個の素数のセット、 N k を厳密に正の整数のセットとし、その素因数への分解には集合P kからの素数のみが含まれます。 P kの要素は、 p 1 、…、 p kで表されます。整数nの素因数分解の最大指数は E ( n ) で表されます。
ここでの表記αは、正の整数のｋタプル（α １ 、α ２ 、…、α ｋ ）を示し、Ｎ（α）は、 ｋタプルが到達する最大値を示す。
最後に、 s は実部が厳密に 1 より大きい複素数を示し、 l は厳密に正の整数を示します。目的は、次のように定義される合計S kl (s) を計算することです。
$$ { S_{kl}(s) \ = \ \sum_{n \in N_k \ E(n) \le l} \frac 1{n^s} } $$
最初にlで、次にkで限界まで 2 回通過すると、結論が得られます。実際、合計も次のように書かれていることに気付きます。
$$ { (1) \quad S_{kl}(s) \ = \ \sum_{N(\alpha) \le l} \frac 1{(p_1^s)^{\alpha_1}.(p_2^s)^{\alpha_2}. \cdots .(p_k^s)^{\alpha_k}} \ = \ \sum_{N(\alpha) \le l} \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{(p_i^s)^{\alpha_i}} = \prod_{i = 1}^k \ \sum_{j = 0}^l \frac 1{(p_i^s)^j}} $$
得られた積のk個の合計はそれぞれ絶対に収束します。私たちは次のように推測します。
$$ {(2) \quad \sum_{n \in N_k \ E(k) \le l} \frac 1{|n^s|} \le \prod_{i = 1}^k \ \sum_{j = 0}^{\infty} \frac 1{|p_i^s|^j} \ = \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{1-|p_i^{-s}|}} $$
したがって、増加のlの級数(2)は絶対に収束し、次の等式が推定されます。
$$ {(3) \quad \sum_{n \in N_k} \frac 1{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{1-p_i^{-s}}} $$
等式(3)のkの級数も絶対収束しており、次のように推測されます。
$$ {\forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \Rightarrow \zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^{\infty} \frac 1{1-p_i^{-s}}} $$
素数の最初の分布
目的は、素数の頻度に関する第一法則を決定することです。したがって、たとえば、完全な正方形より多いか少ないかという質問に答えることが可能になります。この命題は、 Nが十分に大きい整数である場合、 Nより小さい完全平方は存在するか、またはそれより小さいかという意味で読まれなければなりません。オイラーは、次の数列の発散を証明することでこの質問に答えます。
$$ {\sum_{p \in \mathcal P} \frac 1p\ = \ + \infty } $$
したがって、すべてのnについて、素数の数が完全平方の数よりも多くなるようにnより大きい数Nが存在する場合、一般項 1/ n 2の系列は発散しますが、そうではありません。
目的は、一連の素数に相当するものを見つけることです。それは素数定理によって与えられます。
次の等式は、 s が1 になる傾向がある場合、関数 ζ が発散することを示しています。
$$ {\forall s > 1 \quad \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s}} $$
ここでln は自然対数を表します。対数関数の凹面は次のことを示しています。
$$ {\forall x \in ]0,1-e^{-1}[ \quad x > -(1-e^{-1})\ln (1-x) } $$
pが素数の場合、それは (1 – e -1 ) -1より大きく、かつ次のとおりです。
$$ {\forall s > 1,\; \forall p \in \mathcal P \quad p^{-s} > -(1-e^{-1})\ln (1-p^{-s})} $$
オイラー積により、次の増加を推定できます。
$$ {(1)\quad \sum_{p \in \mathcal P} p^{-s} > (1-e^{-1})^{-1} \ln \left(\prod_{p \in \mathcal P} \frac 1{1 – p^{-s}}\right) = (1-e^{-1})^{-1} \ln(\zeta (s))} $$
増加(1)は、 s が1 に向かう傾向がある場合、右側の項は無限大に向かう傾向があり、したがって左側の項も無限大に向かう傾向があることを示しており、命題を示しています。
s が2 に等しい場合の計算
オイラーは、 s が2 に等しい場合の関数 ζ の値を決定することに成功しました。計算は高調波解析ツールを使用することで非常に簡単に得られます。これを行うには、パーセヴァルの等式を、周期 2π のfで示される周期関数のフーリエ変換に適用し、[-π, π[ の恒等式に等しい] を適用するだけで十分です。以下を取得します。
$$ {\zeta (2) \ = \ \prod_{p \ \in P} \frac 1{1- p^{-2}} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2} = \frac {\pi^2}6 } $$
このようにオイラーは、素数で構成される無限積と円の表面積との間に奇妙な関係を確立します。関連する級数を合計する問題は、メンゴリ問題として長い間知られていました。 1735年にオイラーによって解決されました
fのフーリエ変換の係数 ( cn ) を計算してみましょう。奇数であるため、係数c 0はゼロです。
c nの計算は、部分ごとの積分を使用して次のように行われます。
$$ {c_n = \frac 1{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} t \ e^{(-int)} dt = \frac 1{\sqrt {2\pi}}\left[ \frac in t\ e^{(-int)}\right]_{-\pi}^{\pi} – \frac 1{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} \frac in e^{(-int)} dt = (-1)^n\ \frac {i\sqrt {2\pi}}n } $$
Parseval の等価性により、次のことが証明されます。
$$ {\sum_{n \in \mathbb Z} c_n \bar {c_n} = 4\pi \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2} = \int_{-\pi}^{\pi} t^2dt = \frac {2\pi^3}3 } $$
