導入
ゾノ面体は、各面が対称の中心を持つ多角形、または同等の 180 度回転対称を持つ凸多面体です。あらゆるゾノ面体は、3 次元空間内の一連の線分のミンコフスキー和、または超立方体の 3 次元投影として等価に記述できます。ゾノヘドラは元々、ロシアの結晶学者である ES Fedorov によって定義され、研究されました。
空間を拓くゾノヘドラ
ゾノヘドロンの研究の元々の動機は、任意のネットワークのボロノイ図がセルがゾノヘドロンである均一な凸状のハニカムを形成するという事実にあります。この方法で形成されたゾノ面体は3 次元空間をタイル化することができ、一次平行面体と呼ばれます。各一次平行面体は、組み合わせ的に、立方体、六角柱、切頂八面体、菱形十二面体、菱形六角形十二面体の 5 つのタイプのいずれかと同等です。
ゾノヘドラ アレンジメントより
任意の多面体のガウス マップは、多角形の各面を単位球上の点に向けてマッピングし、面のペアを分離する多角形の各エッジを 2 つの対応する点を結ぶ大円弧に向けてマッピングします。ゾノ面体の場合、各面を囲むエッジは平行エッジのペアにグループ化でき、ガウスを適用して変換すると、そのようなペアは同じ大きな円上の連続するセグメントのペアになります。したがって、ゾノヘドロンのエッジは、ガウス マップ上の共通の大円のセグメントに対応する平行エッジのゾーンにグループ化でき、ゾノヘドロンの 1 つのスケルトンは、配置の二重平面グラフとして見ることができます。球上の大きな円。逆に、大円の任意の配置は、円を通る平面に垂直なベクトルによって生成されるゾノ面体のガウス マップから形成できます。
このように、任意の単純なゾノ面体は、各面が三角形である単純な配置に対応します。大円の単純な配置は、中心投影を介して、 Grünbaum (1972) によって研究された射影平面内の線の単純な配置に対応します。彼は、単純配置の 3 つの無限族を列挙しました。そのうちの 1 つは、ゾノ面体に変換するとプリズムにつながり、他の 2 つは、単純なゾノ面体の追加の族に対応します。これら 3 つのファミリーに当てはまらない例も数多く知られています。
ミンコフスキー和からのゾノヘドラ
{v 0 , v 1 , …} を 3 次元ベクトルの集合とする。各ベクトルv iに、セグメント {x i v i |0≤x i ≤1} を関連付けることができます。ミンコフスキー和: {Σx i v i |0≤x i ≤1} はゾノ面体を形成し、原点を含むすべてのゾノ面体はこの形状になります。ゾノ面体を形成するベクトルは、そのジェネレーターと呼ばれます。この特徴付けにより、ゾノヘドラの定義を高次元に一般化し、ゾノトープを与えることができます。
ゾノヘドロンの各エッジは、少なくとも 1 つの母線に平行であり、その長さは、平行な母線の長さの合計に等しいです。したがって、平行ベクトルのペアのない生成器のセットを選択し、すべてのベクトルの長さを等しく設定することにより、任意の組み合わせタイプのゾノ面体の等辺バージョンを形成できます。
高度な対称性を備えたベクトルのセットを選択することにより、少なくとも同程度の対称性を備えたゾノ面体を形成できます。たとえば、球の赤道の周りに等間隔に配置された発電機は、球の極を横切る別の発電機のペアと組み合わされて、正 2k 角形上に角柱状の 10 面体を形成します。立方体、六角柱、八角柱、十角柱、 12角柱など八面体のエッジに平行な母線は切頂八面体を形成し、立方体の対角線に沿った平行な母線は菱形十二面体を形成します。
任意の 2 つのゾノ面体のミンコフスキー和は、指定された 2 つのゾノ面体の生成子の結合によって生成される別のゾノ面体です。したがって、立方体と切頭八面体のミンコフスキー和は大きな菱形立方八面体を形成し、立方体と菱形十二面体の和は切頭菱形十二面体を形成します。これら 2 つのゾノ面体は、立方体のミンコフスキー和から形成される小さな菱形立方八面体、切頭八面体、菱形十二面体のように単純です (各頂点で交わる 3 つの面)。
