インデックス 3 を持つ対称群の表現 - 定義

導入

数学では、 S ₃で示されるインデックス 3 を持つ対称群の表現は、有限群の表現理論の単純な適用例です。

ゼロ標数であり、1 の 6 乗根をすべて含む体上には、インデックス 3 の対称群の 3 つの既約表現が存在します。自明な表現、署名に対応する 1 つと、不変のままの線形アイソメトリに対応する次数 2 の 1 つです。正三角形。

S ₃の表現の分析は、マシュケの定理、性格、正規表現、誘導表現、フロベニウスの相反性などの概念を説明します。ここでは、さまざまな表現の構築が手動で実行され、グループの次数を小さくすることができます。

S3 グループの表現

正規表現

このグループの次数は十分に制限されており、正規表現の網羅的な行列表現が可能です。 S ₄だけでもこの方法を考えるのが面倒であれば、ここで実行可能です。

グループS ₃には6 つの要素と3 つの共役クラスが含まれます。最初のクラスには1 で示される単位のみが含まれ、2 番目には転置t ₁ = (23) 、 t ₂ = (13)およびt ₃ = (12)が含まれ、3 番目には次数3の 2 つのサイクルc ₁ = (123)およびc ₂ = (132) 。 V が正規表現のベクトル空間である_場合_{、 (1, c1, c2, t1 , t2, t3 ) は}_、_次数までの表現の標準基底_となります。

ρ をVの一般線形群GL ( V ) におけるS ₃の群射とします。 xとy をGの 2 つの要素、つまりVの底の 2 つの要素とします。正規表現の定義により、ρ _x ( y ) = xyとなります。次の表現から行列M _{x を}推定します。

ρ のすべての画像に対して 2 つの固有ベクトルが存在することに気づきます。

$$ {f_1=1+c_1+c_2+t_1+t_2+t_3 \quad et \quad f_2=1+c_1+c_2 – t_1 – t_2 – t_3 \;} $$

任意の順列はf _{1 を}不変のままにし、偶数の順列はf _{2 を}不変のままにし、奇数の順列はf _{2 を}-f ₂に変換します。したがって、次数1の 2 つの表現が得られます。1 つのtは自明な表現で、 1 つはS ₃の各要素に関連付けられ、もう 1 つは署名に関連付けられます。これらの表現は次数1であるため、既約です。

1	c1	c2	t1	t2	t3
t	1	1	1	1	1	1
σ	1	1	1	-1	-1	-1

マシュケの定理

他の表現を探してみましょう。マシュケの定理は、それらがすべて既約表現の直接和であることを示しているため、すべての既約表現を知っていれば十分です。

表現に対する安定したベクトル部分空間には、この表現に対する安定した補足があり、マシュケの定理はそれを見つける方法を示します。 F をf ₁とf ₂によって生成されるベクトル空間、 p をc ₁ 、 c ₂ 、 t ₁ 、 t ₂によって生成される空間に平行なF上のプロジェクターとすると、次の等式によって定義されるプロジェクターp ₀にはカーネルがあります。 ρ のすべてのイメージによって安定します。

$$ {p_0=\frac{1}{6}\sum_{t\in G}\rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}} $$

正準基底では、2 台のプロジェクターの行列PとP _{0 を}取得します。

$$ {P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad P_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}} $$

G をp ₀のカーネルとする。プロジェクターp ₀は 2 つの等しいブロック行列で構成され、そのカーネルがゼロ和列ベクトルで構成されるプロジェクター行列です。 G をp ₀のカーネルとする。 j が1 の立方根を表す場合、次のGの底が得られます。

$$ {g_1=1+j.c_1+j^2.c_2\quad g_2=1+j^2.c_1+j.c_2\quad g_3=t_1+j.t_2+j^2.t_3\quad g_4=t_1+j^2.t_2+j.t_3} $$

次に、表現 ( G , φ) を考えてみましょう。ここで、 ρ はGに対する ρ の制限です。 G _{x が}S ₃のx要素の基底 ( g _i ) の φ _xの行列である場合、次が得られます。

$$ { G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix} } $$

$$ { G_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \\ j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \end{pmatrix} } $$

三角形のアイソメトリのグループとしての S ₃の表現

次に、 g ₁とg ₃によって生成されたベクトル空間H はφ によって安定した部分空間であり、 g ₂とg ₄によって生成された加算も持ち、これも安定であり、その表現はHの表現と同型であることに気づきます。 θ をHに対する φ の制限とします。( H , θ) は次数2の表現であり、表現 ρ 内に 2 回存在します。この表現は既約です。そうしないと、ρ が対角行列の表現になり、その到着集合がアーベル群になるためです。これは、この群がS ₃と同型であるため不可能です。

次の 2 つのベクトルh ₁ = g ₁ + g ₃およびh ₁ = i .( g ₁ – g ₃ ) で構成されるHの基底を考えます。ここで、 i は-1 に等しい平方の虚数複素数を示します。この基底では、 H _{x を}θ _xの行列とします。すると、次のようになります。

$$ {H_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad H_{c_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & -sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & cos\frac{2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{c_1}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & -sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix}} $$

$$ {H_{t_1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad H_{t_2}=\begin{pmatrix} cos\frac{2\pi}3 & sin\frac{2\pi}3 \\ sin\frac{2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix},\quad H_{t_3}=\begin{pmatrix} cos\frac{-2\pi}3 & sin\frac{-2\pi}3 \\ sin\frac{-2\pi}3 & -cos\frac{-2\pi}3 \end{pmatrix} } $$

右の図に示されている三角形の二面体グループを認識します。回転c ₁とc _{2 は}2つあり、平面が複素平面と同一視されている場合、点1 はjまたはj ₂に向かって移動します。3 つの対称性があります。、転置に対応する軸は、図では赤色で示されています。

結論として、正規表現は 4 つの表現の直接和で構成されます。 2 つは次数1の自明な表現で署名に関連付けられたもの、もう 2 つは次数2の同型で不変三角形を残す線形アプリケーションに対応します。

インデックス 3 を持つ対称群の表現 – 定義

導入

S3 グループの表現

正規表現

マシュケの定理

参考資料

インデックス 3 を持つ対称群の表現 – 定義・関連動画