フェーザー (物理学)について詳しく解説

導入

物理学および工学において、フェーザは、振幅 ( A )、位相 ( θ )、および周波数 ( ω ) が時間に依存しない正弦波の表現です。これは、分析表現と呼ばれるより一般的な概念の応用です。フェーザーを使用すると、これら 3 つのパラメーターの依存関係を 3 つの独立した因子に減らすことができるため、特定の計算が簡素化されます。特に、正弦波の時間的リンクも含む「周波数」要素は、多くの場合、正弦波の線形結合のすべてのコンポーネントに共通です。フェーザを使用すると、静的な振幅と位相に関する情報を (三角関数ではなく) 代数的に組み合わせることができます。フェーザーという用語は、多くの場合、これら 2 つの要素を指します。古いテキストでは( en ) sinorという単語が使用されています。

意味

オイラーの公式は、正弦波が 2 つの複素関数の和として数学的に表現できることを示しています。

$$ {A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{j(\omega t + \theta)} + A/2\cdot e^{-j(\omega t + \theta)},} $$

または、いずれかの関数の実部として:

$$ { \begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{j(\omega t + \theta)}\right\} \\ &= \operatorname{Re} \left\{ A e^{j\theta} \cdot e^{j\omega t}\right\}. \end{align} } $$

上で説明したように、フェーザーは次のものを参照することもできます。

さらにコンパクトな表記法は角度表記法です。

電気回路の法則

フェーザを使用すると、 DC回路を解くためのテクニックをAC回路を解くのに適用できます。基本的な法律のリストは次のとおりです。

• 抵抗器におけるオームの法則:抵抗器には時間シフトがないため、信号の位相は変化しません。そのため、 V = IR が正確なままになります。
• 抵抗、インダクタンス、およびキャパシタンスにおけるオームの法則: V = IZ 、 Z は複素インピーダンスです。
• AC 回路では、回路内の平均電力を表す有効電力( P ) と、電力の前後の変動を示す無効電力 ( Q ) があります。複素電力S = P + jQと、 Sの振幅である皮相電力も定義できます。したがって、フェーザで表される交流回路のべき乗則はS = VI ^* ( I ^*はIの複素共役) となります。
• キルヒホッフの法則は、複素形式のフェーザーに対して有効です。

フェーザを使用した回路解析手法を適用して、抵抗、静電容量、およびインダクタンスを含む単一周波数 AC 回路を解析できます。複数の周波数の AC 回路やさまざまな波形を持つ回路を解析して、すべての波形を正弦波の成分 (振幅と位相) に変換し、各周波数を個別に解析することで電圧と電流を見つけることができます。

フェイザー演算

スカラーによる乗算

フェーザーの積

$$ { \begin{align} \operatorname{Re}\{(A e^{j\theta} \cdot B e^{j\phi})\cdot e^{j\omega t} \} &= \operatorname{Re}\{(AB e^{j(\theta+\phi)})\cdot e^{j\omega t} \} \\ &= AB \cos(\omega t +(\theta+\phi)) \end{align} } $$

それでも

微分と積分

フェーザーの時間微分または積分もフェーザーです。例えば​​：

$$ { \begin{align} \operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{j\theta} \cdot e^{j\omega t})\right\} &= \operatorname{Re}\{A e^{j\theta} \cdot j\omega e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re}\{A e^{j\theta} \cdot e^{j\pi/2} \omega e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re}\{\omega A e^{j(\theta + \pi/2)} \cdot e^{j\omega t}\} \\ &= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2) \end{align} } $$

したがって、フェーザー表現では、正弦波の時間依存の導出は単に定数による乗算になります。

たとえば、 RC 回路の静電容量両端の電圧を表す次の微分方程式を考えてみましょう。

$$ {\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)} $$

回路内の電圧源が正弦波の場合:

$$ {v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,} $$

置き換えることができます:

$$ { \begin{align} v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{j\omega t}\} \\ \end{align} } $$

$$ {v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{j\omega t}\},} $$

フェイザーがどこにあるのか

微分方程式は簡略表記で次のように書かれます。

$$ {j \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s} $$

静電容量の電圧を与える解は次のとおりです。

$$ { V_c = \frac{1}{1 + j \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-j\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{j\theta})\, } $$

これまで見てきたように、一定の複素係数は、振幅と位相の差を表します。

極表記では、係数は次のようになります。

$$ {\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-j \phi(\omega)},\,} $$

どこ

$$ {\phi(\omega) = \arctan(\omega RC).\,} $$

それで：

$$ {v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))} $$

追加

複数のフェーザーの合計が別のフェーザーです。これは、同じ周波数の 2 つの正弦波の合計も正弦波であるためです。

$$ { \begin{align} A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2) &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{j\theta_1}e^{j\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{j\theta_2}e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{A_1 e^{j\theta_1}e^{j\omega t} + A_2 e^{j\theta_2}e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{j\theta_1} + A_2 e^{j\theta_2})e^{j\omega t}\} \\ &= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{j\theta_3})e^{j\omega t}\} \\ &= A_3 \cos(\omega t + \theta_3), \end{align} } $$

または：

$$ { A_3^2 = (A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2))^2 + (A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2))^2 } $$

$$ { \tan(\theta_3) = \frac{A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2)}{A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2)}. } $$

物理学では、この加算は正弦波が互いに建設的または破壊的に干渉するときに使用されます。上記の計算を表す別の方法は、2 つの座標ベクトルを加算することです。

完全破壊的干渉における 3 つの波の位相図

ベクトルの概念は、この種の質問に答えるための効果的なツールを提供します。「3 つの同一の波が互いに完全に打ち消し合うためには、それらの間にどのような位相差が必要ですか? この場合、同一の規格の 3 つのベクトルを想像して配置するだけで十分です。この条件を満たす形状は正三角形であり、各フェーザと次のフェーザの間の角度は 120° (2π/3) であることは明らかです。したがって、各波間の望ましい位相差は 120°です。

つまり、これは次のことを示しています。

$$ {\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t +4\pi/3) = 0.\,} $$

3 波の例では、最初の波と最後の波の位相差は 240°ですが、2 波の場合、弱め合う干渉は180°で発生します。無限の数の波に向かう傾向があるため、フェーザーは円を形成し、最初の波が最後の波とほぼ平行になるようにする必要があります。これは、多くの発生源では、最初の波と最後の波が 360 度、つまり波長λだけ異なる場合に相殺的干渉が発生することを説明しています。同様に、単純なスリット回折では、遠端からの光が近端からの光よりも 1 波長長く進むときに最小値が発生します。

状態図

電気および電子技術者は、相図を使用して、複雑な定数と変数 (フェーザー) を表します。ベクトルと同様、矢印はフェーザーを表します。デカルト表現と極座標表現にはそれぞれ利点があります。