導入
この記事は、ハウスドルフ次元の増加順に並べたフラクタルのリストです。
数学では、フラクタルは、そのハウスドルフ次元 (δ で示される) が位相次元よりも厳密に大きい集合です。
決定論的フラクタル
δ < 1
| δ (正確な値) | δ (おおよその値) | 名前 | 図 | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| 0 ⇒ したがって、フラクタルではありませんが、暗いボックスカウント = 1 | 0 | 有理数 | 可算集合のハウスドルフ次元は常に0です。これらのセットをフラクタルにすることはできません。このような集合の「ボックス カウンティング」次元は、それが R の開いた領域の密な部分集合である場合には異なる可能性があることを付け加えておきます。したがって、有理数の集合のボックス カウンティング次元は「1」になります。 R. | |
| 計算された | 0.538 | ファイゲンバウムアトラクター |  | ファイゲンバウム アトラクター (矢印の間) は、重要なパラメーターのロジスティック関数の連続反復によって生成される点のセットです。 $$ {\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}} $$ , ここで、周期の 2 倍は無限です。注: この次元は、微分可能な単峰関数の場合と同じです。 |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}}} $$ | 0.6309 | カントールセット | 各反復で中央の 3 分の 1 を削除することによって構築されます。どこにも密集したものはなく、量もゼロですが、数えることはできません。一般化: 一般化されたカントール集合は、各セグメントおよびn回目の反復で、長さγ mの中央セグメントを削除することによって構築されます。そのフラクタル次元には価値があります $$ {\textstyle{-\frac{\log(2)}{\log(\frac{1-\gamma}{2})}}} $$ 0 と 1 の間のすべての値を取ることができます。通常のカントール集合は次のように構成されます。 $$ {\scriptstyle{\gamma=1/3}} $$ 。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\log(\scriptstyle\varphi)}{\log(2)}}} $$ | 0.6942 | 非対称カントールセット |  | 次元がなくなっていることに注意してください $$ {\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}}} $$ 。各反復で第 2 四半期を削除することによって構築されます。どこにも密集したものはなく、量もゼロですが、数えることはできません。 $$ {\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2} $$ （黄金比）。 |
$$ {\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}}} $$ | 0.69897 | 偶数の小数を含む実数 |  | カントールセットに似ています。 |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}}} $$ | 0.7325 | フラクタル 国連大学 | 次の図の連続した反復によって構築される自己記述的なフラクタル: u → unu (a “u”) → unuunnunu (a “u”、a “n”、a “u”) → など。 |
1 ≤ δ < 2
| δ (正確な値) | δ (おおよその値) | 名前 | 図 | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.0000 | スミス-ヴォルテラ-カントール集合 |  | 各反復の中心となる 4 分の 1、次に 16 番目、 64 番目…を削除することによって構築されます。どこにも密ではありませんが、数えられず、ルベーグ尺度は1/2 です。したがって、次元 1 になります。 |
$$ {\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}}} $$ | 1.0000 | 高木またはブラマンジュ曲線 |  | 単位間隔について次のように定義されます。 $$ {\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}} $$ ここで、 s ( x ) は「ノコギリ波」関数です。タカヒ-ランズバーグ曲線の特殊なケース: $$ {\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}} $$ と$$ {\scriptstyle{w = 1/2}} $$ 。ハウスドルフ次元は2 + l o g ( w ) / l o g (2)です。 （マンデルブロがハントを引用）。 |
| 計算された | 1.0812 | ジュリアz²+1/4のセット |  | ジュリアはc = 1/4 に設定されます。 |
| 2 の解決策 | α | 3秒以上 | α | 4秒= 1 | 1.0933 | 乱雑なフラクタル境界線 |  | トリボナッチ置換に関連する動的システムの幾何学的表現: $$ {\scriptstyle{1\mapsto12}} $$ 、 $$ {\scriptstyle{2\mapsto13}} $$ そして$$ {\scriptstyle{3}\mapsto1} $$ .. α は、 z 3 − z 2 − z − 1 = 0の 2 つの複素共役根のうちの 1 つです。 |
| 1.12915 | ゴスパー島 |  | マンデルブロによって命名されました (1977)。ゴスパー曲線の境界。 | |
| 測定済み (箱数) | 1.2 | ジュリアのセット「デンドライト」 |  | ジュリアは c=i に設定 |
$$ {\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}}} $$ | 1.2083 | 60°フィボナッチワードフラクタル | フィボナッチワードから 60° の角度で構築されます。以下の標準的なフィボナッチ ワード フラクタルも参照してください。と $$ {\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2} $$ （黄金比）。 | |
| 1.2107 | ツインドラゴンテイムボーダー | 6 つの通常の 2 ブロックの 1 つ (同じサイズの 2 つのコピーでタイル化できます)。 | ||
$$ {\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}}} $$ | 1.2465 | フィボナッチワードのフラクタル境界 | フィボナッチワードから構築されています。以下の標準的なフィボナッチ ワード フラクタルも参照してください。と $$ {\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2} $$ （黄金比）。 | |
| 1.26 | ヘノンアトラクター | 正規ヘノン写像 ( a = 1.4 およびb = 0.3) のδ = 1.261 ± 0.003 です。パラメータが異なるとδの値も異なります | ||
| 1.2619 | コッホ曲線 | この三角形の曲線を 3 回並べることで、コッホ スノーフレークと、それを反転した場合のコッホ アンチフレークが得られます。 | ||
| 1.2619 | タードラゴンベンドの境界、ファッジフレーク | L システム: 角度 30° のドラゴン カーブに似ています。ファッジフレークは、3 つの初期セグメントを三角形に並置することによって構築されます。 | ||
| 1.2619 | カントール広場 | 2次元のカントールセット。 | ||
| 計算された | 1.2683 | z²-1 用ジュリア セット | ジュリアは c=-1 に設定されました。 | |
| 測定済み (箱数) | 1.3 | k=1のベリルフラクタル | k=1の場合。ベリル フラクタルは、複素数 x と y および平面ν 0 = 1のカットを使用して、f(x, y)→(k(x+y), xy) によって定義されます。 | |
| 計算された | 1.3057 | アポロニウスのバデルナ | 見る | |
| 計算済み (ボックスカウント) | 1,328 | 5円反転フラクタル | 限界セットは、5 つの接線円に関する反転によって反復的に生成されました。こちらも基本サークルが4つあるアポロニウスのバデルナ。見る | |
| 計算された | 1.3934 | ドゥアディ・ラビット | ジュリアは c=-0.123+0.745i に設定しました。 | |
| 測定済み (箱数) | 1.42 +/- 0.02 | ニュートンのフラクタル | ニュートン法による方程式z 3 − 1 = 0の 3 つの複素根の引力盆地の三重境界。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}} $$ | 1.4649 | ヴィセク フラクタル | 各正方形を 5 つの正方形の十字に繰り返し置き換えることによって構築されます。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}} $$ | 1.4649 | 二次コッホ曲線 (タイプ 1) | 異なる方法で構築されたボックスフラクタル (上記を参照) のパターンが見つかります。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}}} $$ | 1.5000 | 二次コッホ曲線 (タイプ 2) | 「ミンコフスキーソーセージ」とも呼ばれます。 | |
$$ { \textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)}}} $$ (正しいと思われる) | 1.5000 | ワイエルシュトラス関数: $$ {\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}}} $$ | ワイエルシュトラス関数のハウスドルフ次元 $$ {\scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}}} $$ によって定義される$$ {\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}}} $$ 上限は1 < a < 2およびb > 1 a $$ {\scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}} $$ 。これは正確な値であると推測されます。サイン関数の代わりにコサインなどの他の周期関数を使用しても、同じ結果が得られます。 | |
$$ {\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}} $$ | 1.5236 | 湾曲したドラゴンの境界線 | チャンとチャンを参照。 | |
$$ {\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}} $$ | 1.5236 | ツインドラゴンフロンティア | 6 つの通常の 2 ブロックの 1 つ (同じサイズの 2 つのコピーでタイル化できます)。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}} $$ | 1.5850 | 三枝木 | 各分岐には 3 つの分岐があります (ここでは90°と 60°)。ツリーのフラクタル次元は末端枝のフラクタル次元です。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}} $$ | 1.5850 | シェルピンスキー トライアングル | パスカルの三角形剰余2 でもあります。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}} $$ | 1.5850 | アローヘッド シェルピンスキー曲線 | シェルピンスキーの三角形 (上) と同じ極限ですが、1 次元曲線の反復によって取得されます。 | |
$$ {\textstyle{\frac{\log{\varphi}}{log{\sqrt[\varphi]{\varphi}}}}} $$ | 1.61803 = $$ {\varphi} $$ | 黄金のドラゴン | 比rおよびr 2の 2 つのスケールで構築されます。 $$ {\scriptstyle{r = 1 / \varphi^{1/\varphi}}} $$ 。寸法は$$ {\scriptstyle{\varphi}} $$ なぜなら$$ {\scriptstyle{({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1}} $$ 。と$$ {\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2} $$ （黄金比）。 | |
| 1 + log 3 ( 2 ) | 1.6309 | パスカルの三角形モジュロ 3 | 一般に、k を法とする三角形の場合、k が素数の場合、フラクタル次元は次のようになります。 $$ {\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})} $$ (スティーブン・ウルフラム参照) | |
$$ {\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}}} $$ | 1.6379 | フィボナッチワードフラクタル | フィボナッチ ワード (またはウサギ数列) Sloane A005614 に基づくフラクタル。図: F 23 = 28657 セグメント後のフラクタル。 $$ {\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2} $$ （黄金比）。 | |
| の解決策 $$ {\scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}} $$ | 1.6402 | 比率 1/3、1/2、2/3 の 3 つの類似点を持つ IFS のアトラクター | 一般化: 開集合条件が満たされると仮定すると、比率c nのn 個のシミュレーションを持つ反復関数系のアトラクターは、ハウスドルフ次元 s を持ち、次の方程式の解になります。 $$ {\scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1}} $$ 。 | |
| 1 + log 5 ( 3 ) | 1.6826 | パスカルの三角形のモジュロ 5 | 一般に、k を法とする三角形の場合、k が素数の場合、フラクタル次元は次のようになります。 $$ {\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})} $$ (スティーブン・ウルフラム参照) | |
| 測定済み (箱数) | 1.7 | 池田アトラクター | 池田の反復システムのパラメータ値 a=1、b=0.9、k=0.4、p=6 の場合 $$ {\scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k – p/(1 + \lfloor z_n \rfloor^2)]]} } $$ 。レーザーにおける平面波相互作用のモデル化の導出。パラメーターが異なれば、値も異なります。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}}} $$ | 1.7227 | フラクタル風車 | ジョン・コンウェイの「風車」舗装から建てられました。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}}} $$ | 1.7712 | 六角形の雪の結晶 | 各六角形を7 つの六角形の雪の結晶に繰り返し置き換えることによって構築されます。その境界はコッホ雪の結晶です。無数のコッホフレーク（ポジティブおよびネガティブ）が含まれています。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}}} $$ | 1.7848 | 85°コッホ曲線、セザーロ フラクタル | 0 ～ 90° の間で選択された角度に基づいたコッホ曲線の一般化。フラクタル次元には価値があります $$ {\scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+cos(a))}} $$ 。 Cesàro フラクタルはこのパターンに基づいています。 | |
$$ {\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}}} $$ | 1.8272 | 自己アフィン フラクタル | グリッドから反復的に構築 $$ {\scriptstyle{p \times q}} $$ 正方形の上で、 $$ {\scriptstyle{p \le q}} $$ 。そのハウスドルフ次元は以下に等しい$$ {\scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}} $$ と$$ {\scriptstyle{a=\frac{\log{ p}}{log{ q}}} } $$ n k は列 k の要素の数です。ミンコフスキー・ブーリガン次元 (ボックスカウント) では異なる計算式が得られるため、多くの場合、異なる値が得られます。自己相似フラクタルとは異なり、自己アフィン フラクタルのハウスドルフ次元は反復要素の位置に依存し、一般的な場合を表す簡単な公式はありません。 | |
$$ {\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}}} $$ | 1.8617 | 五角形の雪の結晶（ペンタフレーク） | 各五角形を 6 つの五角形からなるスノーフレークに繰り返し置き換えることによって構築されます。ここで、 φは黄金比であり、 $$ {\scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}} $$ | |
| の解決策 $$ {\scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1}} $$ | 1.8687 | 「モンキーツリー」 | この曲線は、ブノワ・マンデルブロの「自然のフラクタル幾何学」(1983 年) にこの名前で登場します。比率1/3の6スケールと比率の5スケールに基づいています。 $$ {\scriptstyle{1/{3\sqrt{3}}}} $$ 。 | |
| 1.8928 | シェルピンスキー絨毯 | |||
| 1.8928 | カントールキューブ | 立体的なカントールセット。 | ||
$$ {\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}} $$ | 1.8928 | フォン コッホ曲線とカントール集合のデカルト積 | 一般化: FxG を 2 つのフラクタル セット F および G のデカルト積とします。その場合、 D i m H ( F x G ) = D i m H ( F ) + D i m H ( G ) 。 | |
| 推定 | <td