導入
数学、より正確には線形代数では、自己共役同型写像またはエルミート作用素は、それ自身の随伴であるヒルベルト空間同型写像です (実際のヒルベルト空間では、対称同型写像とも言います)。ヒルベルト空間プロトタイプはユークリッド空間、つまり有限次元の実数体上のベクトル空間であり、スカラー積が与えられます。複合体の身体類似物は、エルミート空間と呼ばれます。これらの有限次元ヒルベルト空間では、 自己共役内部同型写像は特定の正規直交基底で対角化可能であり、その固有値は (エルミートの場合であっても) 実数です。自己共役準同型性 (したがって、それに関連する2 次形式) の構造特性の応用例は数多くあります。
意味
定義—いずれか
したがって、そのようなアプリケーションでは、随伴文として* (と等しい) を許可します。
アプリケーション
数学では、自己共役準同型の構造により、線形微分方程式を解くこと、一方が正定値である場合に 2 つの二次形式の直交基底を見つけること、または二次二次形式を分類することが可能になります。物理学では、振動する弦の偏微分方程式を解いたり、固体の慣性モーメントを表現したりするために使用されます。これにより、統計において最小二乗法を確立したり、主成分分析を使用してサンプルを研究したりすることができます。最後に、多くの数値計算方法はこの特性に基づいています。これらの応用については、スペクトル定理の記事で説明されています。無限次元の場合は、関数解析の領域にあります。
プロパティ
対称双線形形式(それぞれエルミート形式) 関連
リースの表現定理により、次の同型性が存在します。
自己共役に関連付けられた形式—双線形(またはセスキリニア) 形式 Φ aは、 a が自己共役である場合に限り、対称 (またはエルミート) になります。
二次形式に関する注意。したがって、Φ の制限により、自己共役準同型は対称双線形形式 (それぞれエルミート形式) と全単射になります。ただし、後者はそれ自体、二次形式の全単射内にあります (偏光の恒等式の記事を参照)。これら 2 つの全単射の合成により、自己共役準同型写像が 2 次形式に関連付けられます。
- $$ {x\mapsto(a(x) \, |\, x)=(x \, |\, a(x))} $$。
要約すると、2 つの自己共役準同型写像が同じ関連二次形式を持っている場合、それらは等しいことになります。
同型写像 Φ により、2 つの定義を追加できます。
正および正定準同型性—自己随伴準同型性a は、Φ a が正である場合に限り、正(または正定値) であると言われます。
たとえば、任意の準同型性aについて、自己共役準同型性a a *は常に正であり、 aが単射である場合にのみ正定値です。
仕上がり寸法
ここで、 H は有限次元nのヒルベルトを表します。複素係数を持つ正方行列がその随伴行列と等しい場合、その行列は自己随伴 (またはエルミート) 行列と呼ばれます。係数が実数の場合、これは対称行列であると言うのと同じです。次の特徴付けはすぐにわかりますが、非常に役立ちます。
自己共役の内部同型行列—ユークリッド空間またはエルミート空間の内部同型は、その行列が自己共役である正規直交基底が存在する場合に限り、自己随伴となります。さらに、これが正規直交基底に当てはまる場合、すべてに当てはまります。
有限次元の自己共役準同型写像 (つまり、自己共役行列) の構造は単純です (このスペクトル定理は、コンパクトな正規演算子の場合、無限次元で一般化されます)。
自己共役準同型性と自己共役行列の対角化—
逆の場合、エルミート空間では、任意の正規同型写像a は正規直交基底で対角化可能であること、および λ がaの固有値でv が関連する固有ベクトルである場合、 v は共役した固有値の*の固有値であることを使用できます。これを正規であるだけでなく自己共役である内部同型写像aに適用することによって、上記の定理のエルミートの場合が証明されます。ユークリッドの場合は、複雑化によって推定されます (技術的には微妙な点がいくつかあります)。
逆のより直接的な証明 (正規準同型性を低減する手法を使用する) により、複雑さを回避し、エルミートの場合とユークリッドの場合を 2 段階で同時に処理することが可能になります。まず、 aのすべての固有値が実数であることを示します。そして、非ゼロ次元には少なくとも 1 つが存在する (ユークリッドの場合でも) とすると、空間の次元での帰納法によってa を削減します。
- A を自己共役行列 (実数または複素数)、λ をその 特性多項式の根 (少なくとも 1 つ存在しますが、事前複素数)、 X をAX = λとなる非ゼロ複素列行列とします。それで
- $$ {\overline\lambda X^*.X=(AX)^*.X=X^*.A^*.X=X^*.A.X=\lambda X^*.X} $$
またはX *。 X はゼロではないので、λ は実数です。
- a を非ゼロ次元のユークリッドまたはエルミートH空間の自己随伴同型写像とし、λ をaの固有値 (上記によれば、少なくとも 1 つあります)、 Fを関連する固有部分空間、 G をその直交値とします。この場合、 a はGの自己随伴内部同型写像に制限され、これに対して (帰納仮説により) 適切な正規直交基底が存在します。これをFの正規直交基底で完了することで終了します。
たとえば、投影は、それが直交投影である場合にのみ自己随伴であり、対称性についても同じことが当てはまります。
上記の対角化は二次形式で再定式化できます。
二次形式とスカラー積の同時直交化— H をユークリッド空間またはエルミート空間、Ψ をH上の対称双一次形式 (それぞれエルミート形式) とします。この場合、Ψ に対して直交するHの正規直交基底が存在します。つまり、Ψ に関連付けられた行列が対角になります。さらに、この行列の係数はすべて実数です。
ノルムとスペクトル半径
ヒルベルト空間上の通常の演算子 (特に自己共役演算子) は、その演算子ノルムに等しいスペクトル半径を持ちます。次元が有限である特定のケースでは、スペクトル半径は固有値のモジュールの中で最大であり、証明は基本的です。 (これらの証明については、「Normal Operator」の詳細な記事を参照してください)。
自己随伴物と反自己随伴物への分解
アプリ
したがって、反自己随伴同型同型は、その随伴に反対する同型同型です。
の分解$$ {\mathcal L(H)} $$
実際、これら 2 つのサブセットは、実ベクトル空間の包含同型写像の固有部分空間 (固有値 1 および -1 の場合) として、追加のベクトル部分空間です。
参考資料
- مؤثر مساعد ذاتي – arabe
- Operador hermític – catalan
- Samoadjungovaný operátor – tchèque
- Selbstadjungierter Operator – allemand
- Αυτοσυζυγής τελεστής – grec
- Self-adjoint operator – anglais