中心力の動きについて詳しく解説

導入

点力学では、中心力の動きは物質点の動きです。

中心の力、つまり常に同じ点に向かう力のみを受ける力の中心と呼ばれます。

このタイプの動きは、特定の物理現象をモデル化したものです。厳密には自然界には存在しませんが、特定の動きはそれに近いものです。たとえば、地球は太陽からの中心力を受けていると考えることができます。さらに、原子の古典的な記述を使用すると、電子の運動は原子核の周りの中心力によるものであると考えることができます。

このタイプの動きを数学的に研究すると、いくつかの一般的な結果を得ることができます。たとえば、軌道が平面内に含まれていること、乳輪速度が一定であることなどを示すことができます。

歴史的

力の中心運動の問題は、1687 年にアイザック ニュートンによって初めて解決されました。ニュートンは特に、軌道が力の中心を通り角運動量に垂直な平面内に含まれ、角運動量は一定であることを実証しました。さらに、ニュートンが証明したのは最初は逆の方向でした。角運動量は一定であることが証明されており、これは軌道が平面であることを意味します。この軌道は、面積の法則としても知られるケプラーの第 2法則に従って記述されます。つまり、等しい面積は同じ時間で掃引されます。

ロバート・フックは、中心の力が移動点から力の中心を隔てる距離に比例するという特殊ないわゆる「フック」の場合を解決しました (フックの楕円を参照)。

ジャック ビネは、中心力の動きによって駆動される点の速度と加速度を数式で表現しました。これらの公式により、たとえば惑星の楕円軌道を取得することが可能になり、ケプラーの第一法則を再実証することができます。

研究例

いくつかの特定のケースが数学的に研究されています。

• 弾性復元力の場合:フックの楕円を参照してください。
• p の値が -5、-3、0、1/3、3/2、5/3、7/3、5/2、4、5、または 7 の場合に力がr ^pに比例する場合は、解けると言われます。
• 惑星の動き:ケプラーの法則を参照
• ラザフォード拡散はコリン対称性を介して処理できます。

意味

中心力の動きは、力を受けた物質点の動きです。

固定点を通過する 。

軌道は平面です (下記を参照)。この平面内の動きを説明するには 2 つの座標で十分です。エネルギーの保存により、動きを直角位相内に抑えることができます。

軌道の平坦性

力の中心に適用される角運動量定理

ガリレオ座標系では、角運動量の導関数は次のように述べられています。 要点までベクトル半径のベクトル積ですそして強さ : 、2 つのベクトルは同一線上にあるためです。

したがって、運動中の角運動量は一定です。

角運動量の定義により、これは次のことを意味します。

は定数であるため、位置ベクトルはそして動きの量点Mは常にベクトルに対して垂直です一定の方向性。したがって、軌道は平面です。アトラクターの中心を含む平面に完全に含まれます。 、角運動量に直交 。

面積の法則

粒子の軌道が固定された元の平面に留まっていることがわかりました。

。極座標への切り替えそして 、この平面では、次のように書くことができます。

• $$ {\scriptstyle{ \vec {OM} = \vec{r} = r \vec {e_r}}} $$
  、
• それで
  $$ { \scriptstyle{ \vec{v} = \frac{d \vec r}{dt} = \dot{r} \vec{e_r} + r \dot\theta \vec{e_\theta}}} $$
  、 または
  $$ {\scriptstyle{ \vec{e_\theta}}} $$
  は軌道に接する単位ベクトルです
• それから、
  $$ {\scriptstyle{ \vec{L}=\vec{r}\wedge m\vec{v} = mr\dot{r}\vec{e_r}\wedge\vec{e_r} + m r^2 \dot{\theta} \vec{e_r}\wedge\vec{e_\theta} = m r^2 \dot{\theta} \vec{e_z}}} $$
  、その中で
  $$ {\scriptstyle{ \vec e_z = \vec{e_r}\wedge\vec{e_\theta} }} $$
  は軌道に直交する単位ベクトルです。

この最後の関係から、角運動量のノルム定数の値を導き出します。

。さて、光線ベクトルによって掃引される領域 、しばらくの間無限小は 。

この法律は、その形で、

乳輪の速度が一定であることを表すものを面積の法則といいます。ヨハネス・ケプラーが 1609 年に太陽の周りの惑星の動きに関する経験的観察として述べたもの (ケプラーの法則を参照)、したがって実際には、中心力を持つあらゆる動きの一般的な特性です。

ケプラーの方程式

面積の法則は特に次のことを意味します。

は一定の符号を保ちます。つまり、質点は常に同じ方向に回転します。特に、 θ = f ( t )は時間の厳密な単調関数です。したがって、逆関数t = f ^{− 1} (θ)が存在します。つまり、固体が中心点の周りを特定の角度だけ回転するのにかかる時間を求めることができます。この反転を実行したのはルジャンドル、そしてコーシー (ケプラーの方程式の解決) の仕事でした。

極座標での加速度

極座標では、加速度は次の式で表されます。

または

そして回転ベースを形成する、つまりそしてそしてどこでそして軌道の平面のデカルト正規直交基底を形成します。

加速度は半径方向であるため、

の上はゼロなので、 。それに留意して 、したがって、 、面積の定数は次のように結論付けられます。 確かに定数です。

運動エネルギーの表現、遠心効果

物質点Mの運動エネルギーは 2 つの項に分解されます (Leibniz、1695)。

$$ {E_c=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}} $$

• 1 つ目は、質量mの粒子が一次元運動 (r 方向) を行う運動です。
• 2 つ目は、遠心力として作用する反発クーロン位置エネルギーに似ています。

有効位置エネルギー

エネルギー保存則によれば、総エネルギーE = E _c + Vは定数です。運動エネルギーに関する前述の式を考慮すると、この総エネルギーは次の形式になります。

$$ {E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U_{eff}(r)\quad} $$

または

$$ {\quad U_{eff}(r)= V(r)+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}} $$

は有効位置エネルギーと呼ばれます。

したがって、この現象は、ポテンシャルU _{e f f} ( r )における質量mの架空の粒子の一次元運動に類似しています。このポテンシャルは、 Vに加えて、上で導入した遠心力を明らかにします。したがって、これは 2 つの力間の競合に対応します。たとえば、惑星の運動の場合、太陽に向かう引力と遠心力との間に競合があります。

魅力的な分野の事例

引力場の場合、有効ポテンシャルU _eff (r) はポテンシャル井戸を示します。「遠心障壁」に従って近距離では強く反発し、長距離では引力になります。そして、 r ^{2 は}常に正であるため、必然的に次の不等式が成り立ちます。

$$ {E \ge U_{min}} $$

、

ここで、 U _minは、 (距離r _mにおける) 実効ポテンシャルによってとられる最小値です。

そのときの動きはE _mの値に応じて異なります。

• もし
  $$ {E \ge 0} $$
  、体は無限に遠ざかることができます (無制限の動き)。
• もし
  $$ { U_{min} < E \le 0} $$
  、移動は位置r _minとr _maxの間で制限されます。 ( rに応じた)半径方向の動きは周期的です。つまり、 r _minとr _maxの間で振動します。
• E = U _{m i n}の場合、軌道はV(r)に関係なく半径r _mの円形になります。
• E < _{U minの}場合は移動できません。実際、クーロンアトラクター場の場合、この状況は粒子を「衛星化」するには初期の機械的エネルギーが不十分であることに相当します。

毎時方程式と極方程式の一般式

保守的な中心力を伴う動きは、平面内に 2 つの自由度、つまり動きの平面内の座標rとθ を持ちます。さらに、運動には 2 つの定数があります: 角運動量

そして機械的エネルギーE.この問題は求積点までは解けると言われています。

解は、時間方程式( r(t) ) または極方程式( r(θ) ) によって記述できます。実際、上記の面積の法則は、 tとθを交換できることを示しています。これら 2 つの可能性について簡単に検討します。

• エネルギー保存を表すことにより、次の解を持つニュートン微分方程式が得られます。

$$ {t-t_{0}=\int_{r\left (t_{0}\right )}^{r}{\frac{dr’}{\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r’ \right ) \right )}}}\,} $$

。

逆変換により、 r(t)の解析形式を取得することができます。次に、この値を使用して、面積定数を使用してθ( t )を計算できます。最後に、時間法則r(t)とθ(t)により、極座標での軌道のパラメータ化された方程式が得られます。

• 時間の経過に伴う動きの変化ではなく、軌道だけを探している場合は、面積の法則を使用して時間tを削除し、 θに置き換えることができます。次に、別のニュートン微分方程式が得られ、その解も求めることができます。

$$ {\theta-\theta_{0} =\int_{r\left (\theta_{0} \right )}^{r}{\frac{Cdr’}{r’^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r’ \right ) \right )}}}} $$

。

したがって、極方程式r (θ) 、つまり極座標での軌道方程式が得られます。

これらの積分式は解ける場合と解けない場合があります。最後に、特定の場合、特に二体問題の場合には、積分の明示的な評価よりも単純な解決手法を使用できます。

閉鎖軌道の可能性

境界のある動きの場合、半径方向の動き ( r(t) ) は周期的であり、周期T _rです。前の段落によると、時間方程式は次の式を与えます。

$$ {T_{r}=2\int_{r_{min}}^{r_{max}}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r \right ) \right )}}}\,} $$

、

ここで、 _{r minと}r _maxは、アクセス可能な最小半径と最大半径です。

これは、全体の動きが周期的であること、したがって軌道が閉曲線であることを意味するものではありません。実際、これが起こるためには、半径周期Ｔ _ｒの整数ｎが経過した後、角度θが整数ｐの完全な回転を完了する必要がある。また、角周期T _{ang は}動径周期T _rと同等でなければならないとも言えます。

ここで、動径周期T _r中の極角θの変化Δθ は次のように表されます。

$$ {\Delta\theta =2\int_{r_{min}}^{r_{max}}{\frac{Cdr}{r^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r \right ) \right )}}}} $$

。

上記によれば、次の場合に限り、すべての初期条件に対して軌道は閉じられます。

。これは、保守的な場の場合、2 つのタイプの中心力、つまり 1/r² の力 (ニュートン型) とフック力 (-kr) によってのみ検証されます (この結果はベルトランの定理を構成します)。

技術的なメモ

• 閉じた軌道の存在は対称性と関連しており、これは追加の運動定数の存在によって明らかにされます。たとえば、クーロン場の場合、これはルンゲ レンツ ベクトルです。
• 量子力学では、古典的に閉じた軌道を示す場は、そのエネルギー準位に偶発的な縮退を示します。たとえば、クーロン場の場合、一般理論はレベルE _{n,l を}予測しますが、我々は単一の量子数にのみ依存してレベルE _{n を}取得します。原点は、4次元空間 (群O(4) ) の回転に関するクーロン場の追加の対称性です。
• P をMの軌道の接線上の O の投影とします。 Pの軌道は O のポダリウスと呼ばれます。ポダリウスの逆関数により、1 回転以内でホドグラフと呼ばれるものが得られます。逆に、ペダルを逆にすると軌道が復元されます。したがって、(O, x, y) への投影が軌道であり、速度空間 (O, Vx, Vy) への投影がホドグラフである位相空間軌道は、非常に特殊です。ニュートンは、ポダールと対ポダールに特に注意を払いました。当時、円の逆数は円、円の対蹠点は楕円であることはよく知られていました。したがって、楕円形のケプラー軌道は円形のホドグラフに対応します。どういうわけか、ケプラーの法則はこの円形ホドグラフを介して実証されました。この発見の根源には何人かの科学者がいる可能性がある。ニュートンは失われた草案の中で、1684年8月にハレー・ヘルマン（1678年 – 1733年）に主張した。その実証は『プリンキピア』第3版などで見られる。ホドグラフが円形であるということは、ルンゲ レンツ ベクトルが存在するということです。