統計学では、パラメーターλをもつポアソンの法則、または稀な事象の法則は、次のモデルに対応します。
期間 T にわたって、イベントは平均λ回発生します。 X を、期間 T 内にイベントが発生する回数を決定する確率変数と呼びます。
- $$ {p(k) = P(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,} $$任意の自然数kに対して、
または
p(k)の計算
この計算は、パラメーター (T; λ /T) の二項法則に基づいて演繹的に行うことができます。大きな T については、二項法則がポアソン法則に収束することを示します。
区間 [0; T]関数F k ( t ) = イベントが時間間隔 [0; 0; t]。漸化式と微分積分を使用することで、前の公式を見つけることができます。
期待値、分散、標準偏差
ポアソン分布の期待値はλです。
もし
したがって、定義により、
ポアソン分布の分散はλです。
V ( X ) = λ(λ + 1) − λ 2
V ( X ) = λ
したがって、その標準偏差は次のようになります。
機能特性
ポアソンの法則の特徴的な関数は次のとおりです。
法律の特徴的な機能
応用分野
ポアソンの法則の適用範囲は長い間、子供の自殺、ボートの入港、軍隊での馬蹴りによる事故などの稀な出来事に限定されてきた（ラディスラウス・ボルトキェヴィッチによる研究）。
しかし、ここ数十年でその適用範囲は大幅に拡大しました。現在、電気通信（特定の時間間隔内の通信数を数える）、統計的品質管理、放射性崩壊に関連する特定の現象の説明（たとえば、他の場所での指数関数的な爆発に伴う放射性核の崩壊）でよく使用されています。パラメータの法則はラムダとも呼ばれます）、生物学、気象学など。
棒グラフ
他の離散確率法則と同様に、ポアソン分布は棒グラフで表すことができます。以下は、パラメーター 1、2、および 5 によるポアソンの法則の棒図です。
ポアソン分布のパラメーターλ が大きくなると (実際には 5 より大きいとき)、その棒グラフは期待値と分散がλに等しい正規分布のヒストグラムによって正確に近似されます (l クラス間隔は 1 に等しい)。この収束は、コンピューター リソースが普及する前に、特定のテストでポアソンの法則の代わりに通常の法則を使用するために利用されました。
和によるポアソン分布の安定性
X と Y がパラメータ λ と μ のポアソン則に従う 2 つの独立した確率変数である場合、X+Y はパラメータ λ + μ のポアソン則に従う確率変数です。