一次方程式について詳しく解説

導入

実数または複素数の係数を持つ方程式は、 a の形式で表現できる場合、線形であると言われます。 x = b 、ここで、 xは未知数、 aとb は2 つの与えられた数値です。 aがゼロ以外の場合、唯一の解は数値b / aです。

より一般的には、方程式がu(x)=b の形式である場合、方程式は線形であると言われます。ここで、 u は2 つのベクトル空間EとF の間の線形マップであり、 b はFの指定された要素です。 Eで未知のxを検索します。

線形性により、解の線形和や組み合わせを実行できます。これは物理学では重ね合わせの原理として知られています。解空間にはベクトルまたはアフィン空間構造があります。線形代数手法が適用され、解決に大きく役立ちます。

一般的な決議

u をFにおけるEの線形写像とし、 b がFに属するものとする。線形方程式u(x)=b を考えます。

関連等次方程式と呼ばれる方程式u(x)=0には、 Eのベクトル部分空間であるuのカーネルの解があります。

完全な方程式u(x)=b

• この場合にのみ解決策があります
  $$ {b\in {\rm Im } \ u} $$
  ;その場合、それは互換性がある（そうでない場合は互換性がない）と言われます。
• この場合、解空間はカーネルによって指示されるアフィン空間です。 x _{0 を}完全な方程式の特定の解として表すと、解空間は次の形式になります。

$$ {S=x_0+\ker u=\{x_0+k, k\in \ker u\}} $$

これは、多くの場合、「完全な方程式の解は、特定の解と、関連する同次方程式の一般的な解の和である」という形で保持されます。

イメージとカーネルの関係

したがって、方程式を解くことは、 uのイメージ空間とカーネル空間を決定することになります。多くの場合、カーネルはイメージよりも計算が簡単ですが、後者は次の定理のおかげで多くの場合知ることができます。

カーネル補足同型定理

u をFにおけるEの線形マップとします。 H をuの補助カーネルとします。この場合、 H はuのイメージと同型です。より正確には、 uをHに制限すると、Im u上のHの同型性が引き起こされます。

帰結: ランクとカーネルの関係

さらに開始空間Eが有限次元である場合は、同じ表記法で

$$ { \dim \ker u = \dim E – \dim {\rm Im } u} $$

この式はランク式と呼ばれることもあります。あるいは、より一般的には、カーネルが有限の余次元である場合、この余次元は画像の次元と等しくなります。

ソリューションオーバーレイ

u(x)=bの解とu(x)=cの解を加算すると、方程式u(x)=b+cの解が得られます。より一般的には、物理​​学では重ね合わせと呼ばれる、解の線形結合を実行できます。

したがって、一般ベクトルbについてu(x)=b を解決する必要がある場合、 Fの基底のベクトルbについて解決を実行するだけで十分であることがわかります。

重ね合わせ法を「無限和」、つまり級数に拡張してみることができます。しかし、その場合、限界まで突破できることを正当化する必要があります。

応用例：ラグランジュ補間

n+1 個の異なるスカラーをx ₀ , …, x _n 、 n+1 個のスカラーをy ₀ , …, y _nとします。すべてのiについてP(x _i )=y _iとなるような多項式Pの探索は、ラグランジュ補間問題と呼ばれます。

これは線形問題です

$$ {u:\begin{matrix}\mathbb{K}[X]& \longrightarrow & \mathbb{K}^{n+1}\\ P&\longmapsto & (P(x_0), \dots, P(x_n))\end{matrix}\qquad b=(y_0, \dots, y_n)} $$

uのカーネルは、x ₀ , …, x _nにおけるゼロ多項式のセットです。

$$ {\ker u = \{(x-x_0)\dots(x-x_n)Q(x), Q\in \mathbb{K}(X)\}=(x-x_0)\dots(x-x_n)\mathbb{K}(X)} $$

追加のスペースが可能になります

したがって、 uの画像はn+1次元であり、これはuが全射的であり、問​​題には常に解決策があることが証明されます。さらに

$$ {u_1:\begin{matrix}\mathbb{K}_n[X]& \longrightarrow & \mathbb{K}^{n+1}\\ P&\longmapsto & (P(x_0), \dots, P(x_n))\end{matrix}} $$

はベクトル空間の同型写像です。

以下の存在と一意性の結果を推定します

• ラグランジュ補間問題は常に多項式解を許容します
• 解多項式のうち 1 つのみが次数がn以下である
• 他のものは、多項式(Xx ₀ ) の倍数を加算することによって推定されます。 …. ( _Xxn )

最後に、同型写像u _{1 を}使用して、最低次数の補間多項式を明示的に取得できます。これは、u ₁によってbの前件を決定することになります。線形性により、次の正準基底のベクトルの前件を決定するだけで十分です。

したがって、基本的な補間問題を実行するのは自然なことです。

$$ {L_j \in \mathbb{K}_n[X]\hbox{ tel que } \forall i,\, 0\leq i \leq n , \, L_j(i)=\delta_{i,j}} $$

すると自然に次の式にたどり着きます

$$ {L_j(X) := \prod_{0\leq i\leq n, i\neq j} \frac{X-x_i}{x_j-x_i} } $$

そして最後に完全な補間問題について

$$ {P=\sum_{i=0}^n b_j L_j} $$