数学では、1897 年に発表されたBurali-Forti のパラドックスは、特定の集合理論や素朴すぎる型の理論において矛盾を引き起こす構造、つまり理論が矛盾している (支離滅裂とも言います) 構造を示しています。または矛盾しています）。簡単に言うと、順序数のセットの上限を定義できるため、すべての順序数のセットが存在する場合、すべての順序数より厳密に上位の順序数を定義できるため、矛盾があると述べています。
したがって、この議論では序数の概念、つまり本質的に良い順序の概念が使用されています。この議論はより技術的ですが、ラッセルのパラドックスの議論とはそれほど遠く離れていません。ラッセルのパラドックスの方が理解しやすく形式化するのがより簡単です。しかし、 ブラリ・フォルティのパラドックスは、ラッセルのパラドックスの 6 年前に発表された集合論のパラドックスの中で最初のものであり、ゲオルク・カントールは、このパラドックスについて、（カントールとして知られる）最大の枢機卿のパラドックスと同様に、通信の中で報告しました。同じ年です。さらに、Burali-Forti のパラドックスには、メンバーシップの概念ではなく、順序の概念が直接含まれています (たとえ今日、これら 2 つの概念が集合論で定義されている序数について一致しているとしても)。したがって、特定の理論の矛盾は、Burali-Forti のパラドックスを直接導き出すことによって確立されました[ 1 ] 。これは、ジョン バークレー ロッサーが 1942 年にウィラード ヴァン オーマン クワインの『新しい基礎』の初版の矛盾を実証した方法です[ 2 ] 。
矛盾についての声明
このパラドックスは、自然整数の概念を一般化した順序の概念を使用します。これは、適切な順序を表すためです。すべての適切な順序には、「同じ」順序構造を持つ 1 つだけの順序数が関連付けられます[ 3 ] 。整数は有限序数です。自然数の集合は整然としており、その序数は通常 ω で表されます。無限に到達すると、序数の概念は基数の概念とは異なります (個別の無限序数は同じ基数を持つことができます)。
順序数の概念自体に関連する理由により、一連の順序数自体が自然な方法で適切に順序付けされていることがわかっています。すべての順序数の集合が存在することを認める場合、そのような集合が必然的に検証する閉包特性により、この適切な順序に対応する順序数は、その各要素の順序数よりも厳密に優れていることがわかります。したがって、関連付けられた序数はそれ自体よりも厳密に大きくなければならないという矛盾に直面します。
パラドックスの理由
さらに言うと、適切な次数と順序数の特性についてもう少し正確になる必要があります。まず第一に、順序同型性の概念を定義できます。 2 つの整列集合 ( A , < A ) と ( B , < B ) は、 AからBへの全単射f が存在する場合、同型です。これは順序構造をそのまま保持します。つまり、 AからBに増加する全単射です。
- x < Ay⇔f ( x ) < Bf ( y )。
順序数は、お好みで言えば、「同型までの」良い順序であり、順序の一種について話すこともあります。正式な詳細には立ち入らないが、順序数は、適切な順序に対して、この適切な順序と同型の順序数が 1 つだけ存在するように定義する必要があります。
適切な順序についての便利な概念は、それらを比較できるようにするものであり、開始セクションまたは最初のセグメントという概念です。順序付きセット ( E , <) の開始セクションまたは最初のセグメント(厳密な順序を選択します) をEのサブセットFと呼びます。これにはEの要素が含まれている場合、より小さな要素がすべて含まれます。
- x ∈ F ⇒ (∀ y < x ) y ∈ F 。
( E , <) の適切な開始セクションは空ではない開始セクションであり、集合Eとは異なります。もちろん、適切に順序付けされたセットの空でない開始セクションは、それに制限された順序によって適切に順序付けされます。 2 つの適切な順序を比較するには、( A , < A ) が適切な開始順序と同型である場合、適切な順序のセット ( A , < A ) は適切な順序のセット ( B , < B ) よりも厳密に劣っていると言えます。 ( B , < B ) のセクション。この関係は厳密な順序であり、遊びの 2 つの射の合成によって推移的であり、再帰的ではありません。
- 命題（無反射性）。適切に順序付けられたセットは、その適切な開始セクションの 1 つと同型であってはなりません。
この命題は、問題となっている良好な秩序に関する帰納法によって証明されます（つまり、本質的に良好な秩序の定義そのものを使用することによって）。
カントールによれば、本質的な特性は三分法です。それは、前の厳密な順序を順序数に制限すると、全順序が定義される (または、同型までの良好な順序での全順序が定義され、これは同じことになります) と述べています。
- 提案（三分法）。 2 つの整然とした集合 ( A , < A ) と ( B , < B ) が与えられると、
- let ( A , < A ) は ( B , < B ) の適切な開始セクションと同型です。
- ( A , < A ) は ( B , < B ) と同型です。
- let ( B , < B ) は、 ( A , < A ) の適切な開始セクションと同型です。
- これら 3 つのケースは排他的です。
この特性は、良好な次数での帰納法による定義の原理を使用して実証されます。
したがって、順序数のセットに対する全順序を定義する方法を示しました。順序数 α が β の適切な開始セクションと同型である場合、順序数 α は順序数 β よりも厳密に劣ります。しかし、さらにこの順序は良い順序です。実際、 A を空ではない序数のセットとし、α をAの要素とします。 α 以下のAの序数の集合は同型まで α に含まれ、したがってAの最小要素である最小要素を持つことを示します。
- 提案（最小要素）。空でないすべての序数セットには最小の要素があります。
したがって、順序数のセットは自然に適切に順序付けされており、その空でないサブセットはすべて最小の要素を持ちます。これら 2 つのクロージャー プロパティ (実際には最初のもので十分です) を検証するように要求することで、このセットに限定された Burali-Forti パラドックスを導き出すことができます。
- 順序数のセットに順序数が含まれている場合、その順序数よりも下位の順序数がすべて含まれている場合、順序数のセットは下から閉じられます(これは開始セクションの別の言い方です)。
- 順序数のセットは、その各要素の後続要素が含まれている場合、後続要素によって閉じられます。
適切な順序の後継 ( E , <) は、 Eの「最後に」新しい要素、つまりe を追加することによって得られる適切な順序です。つまり、 Eの要素は厳密にeより小さいことになります。定義上、これは適切な次数 ( E , <) より厳密に大きくなります。 ( E , <) の適切な後続順序はすべて同型であるため、順序数の後続順序を定義できます。
最初の特性は、順序数のセットで得られた適切な順序がそのすべての要素以上であることを保証します。2番目の特性は、最初の要素も検証する場合、その順序が後続要素よりも優れているため、厳密にそれらよりも優れていることを示します。そのそれぞれの要素。
すべての順序数のセットはこれら 2 つの閉包特性を必然的に検証するため、パラドックスのペナルティの下では存在できません。ここで、「序数である」というプロパティを形式的に定義できなければなりません。したがって、理解の公理図式を無制限に使用すると矛盾が生じます。
ツェルメロ・フランケル集合論の解
ある意味論理構造（対角推論）を持つラッセルのパラドックスと同様に、ブラリ・フォルティのパラドックスは理解の公理のスキームを制限することによって解決されます。順序数の自然な定義に従う場合、順序数は、前の段落で説明した順序同型性の良好な順序の同型クラスとして定義されます。ただし、理解スキームの制限により、同型クラスは集合ではありません。 1 要素の順序同型クラスは、すべてのシングルトンをすでにグループ化しています (厳密な順序として空のリレーションが指定されています)。再会の公理により、すべての集合の集合が得られるため、理解の図式によるラッセルのパラドックスになります。
ただし、同型クラスごとに代表を均一に構築することは可能です。これらはフォン ノイマン序数です。次に、集合論の言語で「順序数である」という性質を定義できます (フォン ノイマン順序数は、メンバーシップによって適切に順序付けされた推移的な集合です)。したがって、序数のクラスについて話すことができます。もはや矛盾はありません。Burali-Forti のパラドックスは次のように解釈されます。
- 序数のクラスは適切なクラスです。
歴史的側面
Burali-Forti のパラドックスは、この著者による 1897 年の論文で初めて発表されましたが、その形式は上記とは異なりました。しかし、あらゆる点が、カントールがこの矛盾に早くから気づいていたことを示唆しています。 1895 年の日付、または 1896 年のデヴィッド ヒルベルトへの手紙がよく引用されます。最初にそれらを推進したのはフィリップ・ジュルダンだったようです[ 4 ] 。カントールの弟子であったフェリックス・バーンスタインが1905年に発表した論文[ 5 ]がよく引用されるが、これはジャーダンについて言及している。たとえば、ジャン・カヴァイユはバーンスタインを引用しています[ 6 ] 。たとえこれらの日付が可能性が高いとしても、1896 年の手紙は見つかっていません[ 7 ] 。 1897 年のヒルベルトへの手紙[ 8 ]で、カントールは最大の枢機卿のパラドックスについて説明していますが、序数によって索引付けされた一連のアレフに言及しています。したがって、特にこの手紙がこの主題に関する彼の考え方の先進的な状態を証言しているため、彼はブラリとフォルティのパラドックスも知っていると考えることができます。それにもかかわらず、1890 年代の終わりにゲッティンゲンでは、ブラリとフォルティのパラドックスとそれに対するカントールの分析が、ヒルベルトとツェルメロを含む彼の側近たちに知られていました。
ブラリ・フォルティ
Burali-Forti は、1897 年のメモの最初の文から、その主な目的は比較できない超有限数が存在すること、つまりカントールによって実証された三分法特性 (上記参照) の否定を示すことであると宣言しています。そして同年、Burali-Forti のメモから数か月後に出版されました。この結果を証明するために、Burali-Forti は、完全に順序付けられた集合の概念を導入しましたが、この概念は、整然とした集合 (1883 年にカントールによって導入された) よりも強力であると彼は誤って考えています[ 9 ] 。次に、序数を完全に順序付けられた集合の順序型として定義します。彼は自分の「序数」のクラスを次のように順序付けします。( Bに ( A , < A ) の増加する注入が存在する場合、順序付きセット ( A , < A ) は順序付きセット ( B , < B ) よりも厳密に小さくなります。 ,< B ) ですが、増加する全単射はありません。これは、「実数」序数の場合、上記で説明した開始セクションによる順序と同等です。次に、この順序が完全であると仮定すると (三分法の性質)、「順序数」のクラスは (彼の意味で) 完全に順序付けされることを示します。完全な順序について帰納法によって推論することはできませんが、この概念は、Burali-Forti が定義した序数が、それ自身の開始セクションの 1 つと同型ではないことを示すことができるのに十分ですが、これは全順序については誤りです。一般的に、そして彼自身が述べているように、彼が正しい命令であると信じているものに対して（わずかに異なる形式で）。しかし、ブラリ・フォルティは完全な秩序が良い秩序であると考えているため、三分法的な性質は彼らにとって偽りのフォルティオリであると推論することができます。
したがって、ブラリ・フォルティの推論は、たとえ彼がそれを正しい概念に適用していなかったとしても、確かに上記のとおりであり、したがって、「実際の」良い注文については誤った結論を導き出すが、完璧な注文、または彼が正しいと信じているものについてのみ誤った結論を導き出すことになる。命令。 Burali-Forti 順序数は完全な順序に関連付けられていますが、実際には完全に順序付けされているわけではありません。単純にその証明は受け入れられると見なすことはできず、結果が偽となる真の順序数にそのまま転置されるため、合理的な集合論で形式化することもできません。
同じ年に同じ雑誌に掲載された数行のメモ（参考文献を参照）の中で、ブラリ＝フォルティ自身は、良好な秩序の定義が間違っており、完全な秩序という概念は実際にはそれよりも弱いと指摘している。カントールの意味での秩序。興味深いことに、彼はこのことから「読者は私のメモのどの命題が […] 整然としたクラスによっても検証されるかを検証できるだろう」ということ以外は何も結論を出していません。しかし、すでに述べたように、彼の推論は問題なく適切な順序に適用され、したがってカントールの意味での序数にも適用され、これらの問題に興味を持っていた数学者にとってはこれは非常にすぐに明らかだったようです。ブラリ・フォルティのパラドックスは、カントールが 1897 年より前に知っていたという事実にもかかわらず、集合論の最初に知られたパラドックスです。
Burali-Forti で使用される定義
Burali-Forti 氏のメモでは、完璧な命令はほとんど残っていないように見えます。この概念は、いずれにせよ、秩序の概念やそれに関連する帰納法の原理よりも明らかに役に立ちません。したがって、以下の定義は本質的に歴史的関心のみを目的としています。たとえそれが現代の読者にとって非常に理解可能なものであっても、私たちは Burali-Forti の用語に正確に従っていません。
完全に順序付けられたセット内の要素の後続要素を、この要素の厳密な上限の最小値と呼びましょう。それは必ずしも存在する必要はありませんが、存在する場合は実際に一意です。同様に、この要素の厳密な下限 (存在する場合) の最大のものを要素の先行要素と呼びましょう[ 10 ] 。
Burali-Forti は、整序された集合 ( E ,<) が次の 2 つの特性を満たす完全に整列された集合であると誤って考えています。
- ( E ,<) には最小の要素があります
- 厳密な上限を持つ ( E ,<) の要素は、より小さい厳密な上限、つまり後続要素を持ちます。
完全に順序付けられたセットを定義するために、彼は 3 番目のプロパティを追加しました。
- Eのすべての要素は、先行要素のない要素を有限回 (場合によっては 0 回) 反復された後続要素です。
なぜこの 3 番目のプロパティを導入するのでしょうか? Burali-Forti は、最初の 2 つを満たすが、次の条件は満たさない順序の例を示しています。整数のコピーを端から端まで配置し、その後に逆の順序でコピーを配置するだけで十分です ({0}× N ∪ {1 })。 × Z –辞書編集的に正式なものとして順序付けされています。この順序の後継、つまり「最後に」要素を追加して得られる順序、{0}× N ∪ {1}×( Z – ∪ {1}) を形式的とすると、同型順序が得られます。したがって、開始セクションによって定義された順序セット間の比較順序の非再帰性を示すことは期待できません。また、これが Burali-Forti が使用するものでなくても、厳密な上限を構築できる必要があります。
一方、上記の例は 3 番目の特性を満たしていません。 3 番目のプロパティが検証されるとすぐに、順序は後続の順序と同型ではなくなります。実際、最初の順序には最大の要素がありませんでしたが、後続の順序には必然的に最大の要素が含まれるか、より大きな要素があり、要素に戻るのに必要な反復回数に関する通常の再帰 (整数) による結果が得られます。先行命令はありません (後続命令にはさらに 1 回の反復が必要です)。したがって、これは、完全に順序付けられた集合の後継は厳密な上限であり、ブラリ・フォルティ議論にとって十分な性質であることを示しています（この議論は、三分法の性質を仮定して、不条理を通して推論していることを思い出してください）。
適切な順序は完全な順序です。そうでない場合、要素の反復された先行要素のシーケンスにより、最小要素のないセットが得られます。各要素が何らかの形で自然数のコピーの中に存在し、さらに小さい要素が存在する場合、順序は完璧です。これは、整数のこれらのコピー自体が適切に順序付けされているという兆候がないため、良好な順序性を保証するには十分ではありません。たとえば、 Z × N (辞書順に並べた) に小さい要素を追加すると、適切な順序ではない完全な順序が得られます。
カントール
ブラリとフォルティのパラドックス (後者の名前は言及されていない) は、1899 年付けのゲオルグ・カントールからデデキントへの 2 通の手紙で特に明快に説明されていることがわかります[ 11 ] 。カントールは、公理的な観点からは実際には満足のいくものではないにしても、後の集合論の公理化と互換性のある解決策を示しています。
カントールは、今日私たちがクラスと呼ぶことになる 2 種類の定義された多重度[ (de) bestimmte Vielheit] を区別しました。
- 存在によって矛盾が生じる多重性を、彼は矛盾した多重性[ (de) inconsistente Vielheit] または絶対無限[ (de) absolut unendliche Vielheit] と呼び、今日では正確な定義と形式を持って適切なクラスと呼びます。カントールの定義には当てはまりません。
- 「要素の全体が […] 『一つのもの』 に結合されていると矛盾なく考えることができる」多重性を、彼は一貫した多重性または集合と呼んでいます[ 12 ] [ (de) Menge] 、これは今日でもセットと呼ばれるものに対応します。
カントールはΩをすべての序数系と呼んでいます[ 13 ] 。これは、三分法の特性と、Ω の空でない部分には最小の要素があるという事実を思い出させます。順序数は、それより厳密に劣る順序数の集合と同じタイプの順序を持っている (同型である) ため、Ω が集合、したがって順序数である場合、それはそれ自体よりも厳密に優れているため、矛盾があると彼は推測します。したがって、カントールにとって、すべての序数の類 Ω は、一貫性のない、または絶対的に無限の多重度であり、つまり、多かれ少なかれ、ツェルメロ・フランケル集合論におけるブラリ・フォルティのパラドックスの解釈となります。
矛盾する多重性と一貫性のない多重性の区別は、あまり形式的ではないにしても、不定形で完全にアドホックな概念ではありません。カントールは、ヴァン・ハイエノールトが指摘する性質は置換公理スキームのバージョンであると述べています。つまり、2 つの等価な多重性、つまり全単射では、両方のセットであるか、両方が矛盾しています。カントールは、これを使用して、序数によって索引付けされた一連の基数であるアレフのクラスも矛盾していることを示します。これは、最大の基数のパラドックス、またはカントールのパラドックスとして知られています[ 14 ] 。ただし、明確に定義された多重度が一貫しているかどうかをどのように判断するかという問題が生じます。カントール自身は、1899 年 8 月にデデキントに宛てた手紙の中でこの質問を提起している[ 15 ] : 「…基数を割り当てる整然とした乗数または数列が…実際には「集合」であることをどのようにして知るのかを尋ねなければなりません。 。カントールは、基数の場合に新しい公理を導入することを提案しています。しかし、集合論の公理化がなければ、この方向に大きく進むことは難しいように思われます。