導入
数学、特に実ベクトル空間および複素ベクトル空間上の非縮退二次形式の理論では、有限次元クリフォード代数は完全に分類されています。いずれの場合も、クリフォード代数は次の行列代数と同型です。
$$ { \mathbb{R}\,} $$
、 $$ { \mathbb{C}\,} $$
、 または$$ { \mathbb{H}\,} $$
(四元数)、またはこれらの代数のうち 2 つの直接和を求めますが、これは標準的な方法ではありません。表記法と規則。この記事では、クリフォード乗算に (+)符号規則を使用します。
- $$ {v^2 = Q(v)\,} $$
すべてのベクトルに対して
$$ {v \in V\,} $$
ここで、 Q はベクトル空間V上の二次形式です。行列の代数を指定します$$ {n \times n\,} $$
除算代数K by K ( n ) のエントリを使用します。代数の直接和は、 K 2 ( n ) = K ( n ) ⊕ K ( n ) で表されます。
複雑なケース
複雑な場合は特に単純です。複素ベクトル空間上のすべての非縮退二次形式は、標準の対角形式と同等です。
- $$ {Q(u) = u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} $$
ここで、 n = dim Vであるため、基本的に各次元に 1 つのクリフォード代数が存在します。クリフォード代数に注目してみましょう
$$ {\mathbb{C}^n\,} $$
標準二次形式による$$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$
。nが偶数か奇数かに応じて、考慮すべき 2 つの別々のケースがあります。 nが偶数の場合、代数は
$$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$
は単純中心であるため、アーティン・ウェダーバーンの定理により、上の行列代数と同型です。 $$ {\mathbb{C}\,} $$
。 nが奇数の場合、中心にはスカラーだけでなく擬似スカラー(次数nの要素) も含まれます。正規化された擬似スカラーはいつでも見つけることができます$$ {\omega\,} $$
のような$$ {\omega^2 = 1\,} $$
。演算子を定義しましょう- $$ {P_{\pm} = \frac{1}{2}(1\pm\omega)} $$。
これら 2 つの演算子は、直交する冪等要素の完全なセットを形成します。これらは中心的なものであるため、次のような分解が得られます。
$$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$
2 つの代数の直接和に変換- $$ {C\ell_n(\mathbb{C}) = C\ell_n^{+}(\mathbb{C}) \oplus C\ell_n^{-}(\mathbb{C})} $$または$$ {C\ell_n^\pm(\mathbb{C}) = P_\pm C\ell_n(\mathbb{C})} $$。
代数
$$ {C\ell_{n}^{\pm}(\mathbb{C})\,} $$
は単に次の正と負の固有空間です。 $$ {\omega\,} $$
そして$$ {P_{\pm}\,} $$
は単なる射影演算子です。以来$$ {\omega\,} $$
は奇数です、これらの代数は次のように混合されます$$ {\alpha\,} $$
: - $$ {\alpha(C\ell_n^\pm(\mathbb{C})) = C\ell_n^\mp(\mathbb{C})} $$。
したがって同型です (なぜなら
$$ {\alpha\,} $$
は自己同型です)。これら 2 つの同型代数はそれぞれ単純中心であり、したがって、ここでもまた、上の行列の代数と同型です。 $$ {\mathbb{C}\,} $$
。これらの行列のサイズは、次の次元から決定できます。 $$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$
東$$ {2^n\,} $$
。その後、次の表が得られます。| n | $$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$ |
| 2m | $$ {\mathbb{C}(2^m)\,} $$ |
| 2m +1 | $$ {\mathbb{C}(2^m) \oplus \mathbb{C}(2^m)\,} $$ |
の偶部分代数
$$ {C\ell_{n}(\mathbb{C})\,} $$
は（非標準的に）同型です$$ {C\ell_{n-1}(\mathbb{C})\,} $$
。 nが偶数の場合、偶数の部分代数もブロック対角行列 (2 × 2ブロック行列に分割された場合) で識別できます。 nが奇数の場合、偶数部分代数は次の要素になります。 $$ {\mathbb{C}(2^m) \oplus \mathbb{C}(2^m)\,} $$
この 2 つの要素は同一です。一方ともう一方の部分を組み合わせると、次のような同型写像が得られます。 $$ {C\ell_{n-1}(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}(2^m)} $$
。
実際のケース
実際のケースはもう少し複雑で、周期性が 2 ではなく 8 になります。実ベクトル空間上の非縮退二次形式はすべて、標準の対角形式と同等です。
- $$ {Q(u) = u_1^2 + \cdots + u_p^2 – u_{p+1}^2 – \cdots – u_{p+q}^2} $$
ここで、 n = p + q はベクトル空間の次元です。整数のペア ( p 、 q ) は、二次形式の署名と呼ばれます。この二次形式の実ベクトル空間は、多くの場合、次のように表されます。
$$ {\mathbb{R}^{p,q}\,} $$
。クリフォード代数$$ {\mathbb{R}^{p,q}\,} $$
注目される$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
。の標準直交基底{ e i }
$$ {\mathbb{R}^{p,q}\,} $$
n = p + q の相互に直交するベクトルで構成され、 p はノルム+1 であり、 q はノルム -1 です。代数$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
したがって、 には、二乗が +1 になるp 個のベクトルと、二乗が -1 になるq個のベクトルが含まれます。の擬似スカラー単位$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
によって定義されます- $$ {\omega = e_1e_2\cdots e_{n}.} $$
の正方形
$$ {\omega\,} $$
によって与えられます- $$ {\omega^2 = (-1)^{n(n-1)/2}(-1)^q = (-1)^{(p-q)(p-q-1)/2} = \begin{cases}+1 & p-q \equiv 0,1 \mod{4}\\ -1 & p-q \equiv 2,3 \mod{4}.\end{cases}} $$
複雑な場合とは異なり、二乗が +1 である擬似スカラーを常に見つけることができるわけではないことに注意してください。
分類は次のとおりです: nが偶数の場合 ( p – qが偶数の場合と同等)、代数
$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
は単純中心であるため、上の行列の代数と同型です。 $$ {\mathbb{R}\,} $$
または$$ {\mathbb{H}\,} $$
アーティン・ウェダーバーンの定理による。 n (またはp − q ) が奇数の場合、代数は単純な中心ではなく、スカラーだけでなく疑似スカラーを含む中心を持ちます。 nが奇数の場合、 $$ {\omega^2 = +1\,} $$
次に、複雑な場合と同様に、代数$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
同型代数の直接和に分解される- $$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R}) = C\ell_{p,q}^{+}(\mathbb{R})\oplus C\ell_{p,q}^{-}(\mathbb{R})} $$
それぞれは単純な中心であるため、上の行列代数と同型です。
$$ {\mathbb{R}\,} $$
または$$ {\mathbb{H}\,} $$
。 nが奇数の場合、 $$ {\omega^2 = +1\,} $$
それから中心$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
と同型である$$ {\mathbb{C}} $$
複素代数と考えることができます。複素代数と同様に、それは単純な中心であるため、上の行列代数と同型です。 $$ {\mathbb{C}} $$
。すべては、代数のクラスを決定する 3 つの性質があることを示しています。
$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
:- nは偶数/奇数、
- $$ {\omega^2 = \pm 1\,} $$、
- (偶数n ) 代数または偶数 (奇数n ) 部分代数の Brauer クラスは次のようになります。 $$ {\mathbb{R}\,} $$または$$ {\mathbb{H}\,} $$。
これらの各プロパティは、署名p – qモジュロ8 のみに依存します。完全な分類表を以下に示します。行列のサイズは次の条件によって決まります。
$$ {C\ell_{p,q}(\mathbb{R})\,} $$
次元がある$$ {2^{p+q}\,} $$
。| p – q mod 8 | $$ {\omega^2\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^{p,q}\,} $$ | p – q mod 8 | $$ {\omega^2\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^{p,q}\,} $$ |
| 0 | + | $$ {\mathbb{R}(2^m)\,} $$ | 1 | + | $$ {\mathbb{R}(2^m) \oplus \mathbb{R}(2^m)\,} $$ |
| 2 | – | $$ {\mathbb{R}(2^m)\,} $$ | 3 | – | $$ {\mathbb{C}(2^m)\,} $$ |
| 4 | + | $$ {\mathbb{H}(2^{m-1})\,} $$ | 5 | + | $$ {\mathbb{H}(2^{m-1})\oplus\mathbb{H}(2^{m-1})\,} $$ |
| 6 | − | $$ {\mathbb{H}(2^{m-1})\,} $$ | 7 | − | $$ {\mathbb{C}(2^m)\,} $$ |
以下は、p + q \le 8 のこの分類の表です。ここで、 p + q は垂直に配置され、 p – q は水平に配置されます (例: 代数)
$$ {C\ell_{1,3}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{H}(2)\,} $$
行 4、列 – 2 で見つかります)。| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | – 1 | – 2 | – 3 | – 4 | – 5 | – 6 | – 7 | – 8 | |
| 0 | $$ {\mathbb{R}\,} $$ | ||||||||||||||||
| 1 | $$ {\mathbb{R}^2\,} $$ | $$ {\mathbb{C} } $$ | |||||||||||||||
| 2 | $$ {\mathbb{R}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}\,} $$ | ||||||||||||||
| 3 | $$ {\mathbb{C}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^2\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}^2\,} $$ | |||||||||||||
| 4 | $$ {\mathbb{H}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(2)\,} $$ | ||||||||||||
| 5 | $$ {\mathbb{H}^2(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^2(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}^2(2)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(4)\,} $$ | |||||||||||
| 6 | $$ {\mathbb{H}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(8)\,} $$ | ||||||||||
| 7 | $$ {\mathbb{C}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}^2(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^2(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}^2(4)\,} $$ | $$ {\mathbb{C}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}^2(8)\,} $$ | |||||||||
| 8 | $$ {\mathbb{R}(16)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(16)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(16)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{H}(8)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(16)\,} $$ | $$ {\mathbb{R}(16)\,} $$ | ||||||||
$$ {\omega^2\,} $$ | + | – | – | + | + | – | – | + | + | – | – | + | + | – | – | + | + |
上の表には、対称性と関係性が複雑に絡み合っています。たとえば、テーブル全体は列 1 (および列 5、-3、-7) に関して対称です。どの行でも 4 桁移動すると、結果は同じ代数になります。
