クリフォード代数について詳しく解説

導入

数学では、クリフォード代数は、二次形式、直交群、および物理学の理論内で重要な結合代数です。これらは、複素数と四元数の可能な一般化の 1 つとして見ることができます。それらは英国の数学者ウィリアム・キングドン・クリフォードに敬意を表して命名されました。

多重線形代数の基礎をある程度知っていると、この記事を読むときに非常に役立ちます。

概要と基本特性

正確には、クリフォード代数は、二次形式Qを備えたベクトル空間Vによって生成されるユニタリ結合代数です。

クリフォード代数

は、次の条件に従ってVによって生成される「最も一般的な」代数です。

$$ {v^2 = Q(v)\ \rm{pour~tout}\ v\in V,\,} $$

ここで、積v ²は代数の内部で取得され、実数Q(v) は代数の単位を指定するQ(v) ·1 , 1で識別されます。基本的な物体の特性Kが 2 でない場合、この基本的な恒等式を次の形式で書き直すことができます。

$$ {uv + vu = 2 \lang u, v\rang} $$

すべてのために

$$ {u,v \in V} $$

または

は、Q に関連付けられた対称双線形形式です。

この恒等性に従う「最も一般的な」代数の考え方は、普遍的性質の概念を通じて正式に表現できます (以下を参照)。

クリフォード代数は外部代数に直接関係しています。実際、 Q = 0 の場合、クリフォード代数

単なる外部代数です 。 Qがゼロ以外の場合、間に線形正準同型性が存在します。 そしてつまり、それらはベクトル空間と自然に同型ですが、乗算が異なります。クリフォード乗算は、 Qによって提供される追加情報を利用するため、外積よりも豊富です。

特性 2 の二次形式とクリフォード代数は例外的なケースを形成します。特に、特性K = 2 の場合、二次形式がその対称双一次形式によって決定されるということ、または各二次形式が直交基底を認めるということは真実ではありません。この記事の多くの結果には、特性が 2 ではないという条件が含まれており、この条件が削除されると false になります。

ベースと寸法

Vの次元がnの場合、

がVの基底であり、集合

$$ {\{e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\mbox{ et } 0\le k\le n\}} $$

の基礎です

。空の積 ( k = 0) は中立乗法要素として定義されます。 kの各値に対して、次のものが存在します。 したがって、クリフォード代数の合計次元は次のようになります。

$$ {\dim \mathcal{C}\ell(V,Q) = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} = 2^n.} $$

特性が 2 でない場合、 Vに対する特権基底のセット、つまり直交基底が存在します。直交基底は次のようなものです

$$ {\langle e_i, e_j \rangle = 0 \qquad i\neq j. \,} $$

ここで、<・,・> はQに関連付けられた対称双線形形式です。基本的なクリフォード恒等式は、直交基底について次のことを意味します。

$$ {e_ie_j = -e_je_i \qquad i\neq j. \,} $$

これにより、直交基底ベクトルの操作が非常に簡単になります。製品を与えられた

直交基底とは異なるベクトルの場合、それらを正しく順序付けるために必要な順列の数に対応する符号 (つまり、順序付けられた順列の署名) を含めることによって、それらを標準の順序に配置できます。

V上の二次形式を次の二次形式に簡単に拡張できます。

個別の要素をリクエストすることで、 は互いに直交しており、次のように設定することで、

$$ {Q(e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k}) = Q(e_{i_1})Q(e_{i_2})\cdots Q(e_{i_k})} $$

特に、 Q (1) = 1 であり、スカラー上の二次形式は単純に次のようになります。

。したがって、 Vの直交基底は、次の直交基底に拡張できます。 。このように定義された二次形式は、実際には、選択された直交基底から独立しています (基底から独立した定式化は以下に示されます)。