次元解析は、量の単位に関係する物理学の (限定された) 分野です。特に、単位が任意であるという事実は、物理学における有効な方程式が同次であることを意味します。つまり、メートル/秒で測定されるものは、キログラム/メートルで測定されるものと等しくなり得ません。これは計算を確認するための一般的で非常に効果的な方法です。一方、これにより、特定のコンテキストでは、異なるデータ間の関係を確立することが可能になります。
規格、単位および寸法計算式
次元方程式は、式の結果を表現する単位を決定することを可能にする式です。それは量の方程式、つまり、記号によって測定される現象を表すものです。たとえば、長さは文字「 L 」で表されます。
量は、状態やオブジェクトを定義するために使用される測定可能なパラメータです。たとえば、長さ、温度、エネルギー、速度、圧力、力（重量など）、慣性（質量）、物質量（モル数）などは量です。
量を測定するには計量学が必要です。 「現在の現象は基準現象のx倍である」と言えるようにする基準現象、つまり標準を定義する必要があります。ステートメントを簡単にするために、単位を定義して、「現在の現象にはx単位がある」と言います。たとえば、バーが標準メートルの 3 倍である場合、「バーのサイズは 3 メートル」と言い、メートルは長さの単位です。
したがって、観察された現象ごとに参照現象を見つける必要があります。幸いなことに、既存の標準から標準を構築できます。たとえば、速度標準は長さ標準と時間標準から構築できます。
- 基準速度は、標準時間内に標準長さを移動する物体の速度、つまり 1 秒あたり 1 メートルです。
特定のユニットを定義するのではなく、既存のユニットからユニットを構成します。
したがって、次の 7 つの基準のみに絞り込むことができました。
- 長さL (メートル – m);
- 質量M (キログラム — kg);
- 時間T (秒 — 秒);
- 電流I (アンペア — A);
- 温度Θ (ケルビン – K);
- 物質の量N (モル – モル);
- 光の強度J (カンデラ — cd)。
他の 7 つの基準量を選択することもできることに注意してください。たとえば、速度を基本量として定義し、長さの標準を速度標準と時間標準の関数として定義します (これは暗黙的に行われることでもあり、速度標準は真空中での光の速度);これら 7 つのサイズの選択は歴史的な構造であり、サイズは18世紀以来、シンプルかつ正確な方法で製造できるニーズと規格に従って選択されてきました。
したがって、量の次元は、標準現象が 7 つの基本標準から構成される方法です。たとえば、「速度の次元は長さを持続時間で割ったものである」と言います（また、「速度は長さを持続時間で割った値では均一である」とも言います）。これを次元を伴う方程式によって省略して示します。 :
- $$ {\left[ V \right] \; = \; \frac{L}{T}.} $$
使用される単位は、この方程式を寸法で表します。たとえば、速度の場合、単位は「メートル/秒」で、ms -1 (または m/s) で表されます。
構成はより複雑になる可能性があります。したがって、力は質量に長さを掛け、持続時間の 2 乗で割った寸法になります。
- $$ {\left[ F \right] \; = \; \frac{M.L }{T^2} \; = \; M.L.T^{-2}} $$
したがって、力の単位であるニュートン (N と表記) は kg.ms -2 (キログラム メートル/秒の二乗) で均一になります。これは、力の基準は、1 kg の質量が 0 から 1 ms -1の速度で 1 秒間に通過する現象であることを意味します。
指数の意味
指数は、現象を構成するパラメータがそのパラメータの最終的な強度に及ぼす影響の程度を示します。 「次元方程式」という表現で「次元」と呼ぶのは、まさにこれらの指数です。
たとえば、力の標準の場合、次の寸法方程式の中間形式を考えてみましょう。
- $$ {\left[ F \right] = \frac{M.V}{T}.} $$
力を 2 倍にすると、次のようになります。
- 同じ期間にわたって二重の充電を加速して同じ速度に達することができます。したがって、[M] の指数は 1 (厳密な比例関係) になります。
- 同じ期間にわたって同じ充電を加速して 2 倍の速度に達することができます。したがって、[V] の指数は 1 になります。
- 同じ速度に達するまでに同じ充電を半分の時間で加速できるため、2 番目の [T] の指数は -1 (1/[T]) になります。
予測
次元解析では、バッキンガムの定理(「円周率定理」とも呼ばれます) のおかげで、方程式を解くことなく、特定の問題の解決策を見つけることができます。 2 つの有名な例は、最初の原子爆弾の威力の計算と、すべての流体力学に大きな影響を与えたコルモゴロフの均一等方性乱流モデルです。このタイプの計算は、少数のパラメーター (2 または 3) が問題の解決策を制御する場合にのみ有効です。
方法の図解
- $$ {\vec{F} \; = \; q \vec{v} \wedge \vec{B}} $$
いつ
- $$ {\omega \; = \; k m^{\alpha} q^{\beta} B^{\gamma}} $$
ここで、 k 、 α、 β、 γ は未知の定数であり、無次元数です。寸法方程式を使用すると、これらの数値を決定できます。実際、次のようなものがあります。
- $$ {\left[ F \right] \; = \; M.L.T^{-2} \; = \; \left[ q.v.B \right] \; = \; Q.L.T^{-1} \; \left[ B \right]} $$
したがって、磁場の寸法の方程式は次のようになります。
- $$ {\left[ B \right] \; = \; M.T^{-1}.Q^{-1}} $$
ω の次元を使用して方程式を導き出します。
- $$ {\left[ \ \omega \ \right] \ = \ \left[ \ k \; m^{\alpha} \; q^{\beta} \;B^{\gamma} \ \right] \ = \ M^{\alpha} \; Q^{\beta} \; \left[ \ B\ \right]^{\gamma} \ = \ M^{\alpha+ \gamma} \; Q^{\beta – \gamma} \; T^{-\gamma}} $$
さらに、角速度 ω は、角度を時間T 0 (回転周期) で割った比です。
- $$ {\omega \; = \; \frac{2 \pi}{T_0}} $$
角度は無次元なので、次のようになります。
- $$ {\left[ \omega \right] \; = \; T^{-1} \; = \; M^{\alpha+ \gamma}.Q^{\beta – \gamma}.T^{-\gamma}} $$
私たちはそれを推測します
- γ = 1;
- $$ {\alpha + \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha = -1} $$;
- $$ {\beta – \gamma = 0 \ \Longrightarrow \ \beta = +1} $$。
したがって、ω の形式は次のようになります。
- $$ {\omega \; = \; k.\frac{qB}{m}} $$
この大きさを「サイクロトロン脈動」と呼びます。
- $$ {\omega_c \ = \ \frac{qB}{m}} $$
数値定数k はこの方法では決定できません。 ω を見つけるには、ω を完全に明示的に計算する必要があります (または、それを決定するには実験的な測定を行う必要があります)。ただし、経験上、調査対象の問題に適応した単位系では、定数kは常に 1 程度 (π ~ e ~ 1 という意味) であることがわかっています。計算結果の形状とその大きさのオーダー[ 1 ] 。
理論物理学の「ゼロ原理」
次元解析のその単純さと比較した強力な予測力により、Wheeler は次の一般原則を提案しました。
- 「結果を知る前に決して計算をしないでください。 」
このステートメントは、一見すると逆説的に見えるかもしれませんが、具体的には次のことを意味します。最初に次元解析で結果の定性的な形式を見つけずに複雑な計算を開始しないでください。
例:核爆弾
ジェフリー・イングラム・テイラーは、この情報が極秘であったにもかかわらず、次元分析により 1950 年の原子爆弾の爆発によって放出されたエネルギーを推定することができました。彼がしなければならなかったのは、アメリカ軍によって軽率にも公開された爆発フィルムで、キノコ雲の拡大が実験的な比例法則に従っていることを観察することだけだった。
- $$ {r(t) \propto t^{2/5}} $$
そして物理学者テイラーは、ガス球の膨張過程は少なくとも以下のパラメータに依存すると先験的に仮定します。
次元解析により、時間tにおけるガス球の半径は次のようになります。
- $$ {r \ = \ k \; E^{1/5} \; \rho^{-1/5} \; t^{2/5}} $$
ここで、 k は無次元定数です。したがって、テイラーはキノコの膨張に関する実験法則を明らかに発見しました。
- $$ {r(t) \propto t^{2/5}} $$、
これは彼のパラメータの選択を検証しているようです。次に、フィルムからrとt を決定し、 k が1 のオーダーであると仮定され、ρ が既知であるとすると、最終的に次の結果が得られます。
- $$ {E \ \sim \ \frac{\rho \; r^5}{t^2}} $$
注意事項
- ↑この特定の例では、ニュートンの力学方程式を解くと、 k = 1 であることが正確にわかります。