フェルマーの 2 平方定理について詳しく解説

導入

数学では、フェルマーの 2 平方定理は、整数が 2 つの完全な平方 (つまり、2 つの整数の平方) の和であるための条件を示し、整数がどのようにさまざまな方法で存在できるかを指定します。たとえば、この定理によれば、奇数の素数は、ユークリッドを 4 で割った余りが 1 である場合に限り、2 つの完全平方の和になります。この場合、正方形は一意に決定されます。これは、17 (= 4×4 + 1) または 97 (= 24×4 + 1) で検証できます。これらはどちらも、ある意味では 2 つの平方和 (17 = 1²+4² および 97 = 9²+4²) ですが、次のような素数では、 7 (=4×1+3) または 31 (4×7+3) は 2 つの平方の和ではありません。この結果は、単に 2 平方定理、またはフェルマードノエルの定理と呼ばれることもあります。

これは、古代に遡る、数値を平方和として表現する長い歴史の一部です。それは17^世紀にピエール・ド・フェルマーによって説明されましたが、最初に知られた出版された証明は 1世紀後のレオンハルト・オイラーの研究でした。彼のデモは疑問を解決するものではありません。その後何世紀にもわたって、新しい証拠とさまざまな一般化が提案されました。これらは、代数的整数論と呼ばれる数学の一分野の発展において重要な役割を果たしました。

多くのディオファントス方程式、つまり求められる係数と解が整数または分数である方程式と同様、この記述の単純さは実証の本当の難しさを隠しています。提案された証明の一部は、楕円曲線や数幾何学など、時には高度なツールの開発に役立ち、初歩的な数論を数学の他の分野に結び付けました。

定理の提示

素数の場合

一部の素数は 2 つの完全平方の和です。もちろん、これは 2 (= 1 ² + 1 ² ) の場合であり、同様に、5 は 1 と 4 の合計です。3 や 7 などの他の値は、この特性を検証しません。 40 までの系統的なテストでは次のことがわかります。

$$ {5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2.} $$

一方、3、7、11、19、23、31 はこのように崩れません。定理は、これら 2 つの状況を区別できる一般的な基準を提供します。

フェルマーの 2 平方定理 (素数の場合) — p を奇数の素数とします。pが 1 を法とする4 に合同である場合に限り、 p は自然数の 2 乗の和になります。

$$ {\exists x,y\in \N \quad /\quad p = x^2 + y^2\quad \Leftrightarrow \quad p\equiv 1 \pmod{4}.} $$

さらに、この分解は、存在する場合、 x ²とy ^{2 の}近くの交換で一意です。

「 p は4 を法とする 1 に合同である」ということは、単にpを 4 で割ったユークリッド除算の余りが 1 であること、または数値pが 4 k +1 の形式であることを意味します。この語彙については、「整数の合同」の記事で説明されています。

一般的なケース

最初に、50 未満の整数が 4 行に書かれている場合、それらを4で割った余りに従って、次が得られます。

$$ {{\color{OliveGreen}4},{\color{OliveGreen}8},{\color{red}12},{\color{OliveGreen}16}, {\color{OliveGreen}20},{\color{red}24},{\color{red}28},{\color{OliveGreen}32},{\color{OliveGreen}36}, {\color{OliveGreen}40},{\color{red}44},{\color{red}48}} $$

$$ {{\color{OliveGreen}1},{\color{OliveGreen}5},{\color{OliveGreen}9},{\color{OliveGreen}13}, {\color{OliveGreen}17},{\color{red}21},{\color{OliveGreen}25},{\color{OliveGreen}29},{\color{Red}33}, {\color{OliveGreen}37},{\color{OliveGreen}41},{\color{OliveGreen}45},{\color{OliveGreen}49}} $$

$$ {{\color{OliveGreen}2},{\color{Red}6},{\color{OliveGreen}10},{\color{Red}14}, {\color{OliveGreen}18},{\color{Red}22},{\color{OliveGreen}26},{\color{Red}30},{\color{OliveGreen}34}, {\color{Red}38},{\color{Red}42},{\color{red}46},{\color{OliveGreen}50}} $$

$$ {{\color{Red}3},{\color{Red}7},{\color{Red}11},{\color{Red}15}, {\color{Red}19},{\color{Red}23},{\color{Red}27},{\color{Red}31},{\color{Red}35}, {\color{Red}39},{\color{Red}43},{\color{red}47}} $$

緑色で示された整数は 2 つの完全平方の和として記述できる整数であり、そのような記述が不可能な整数は赤色で示されています。 4 行目には解決策が含まれていないことがわかります。ここで、 4 k +3 の形式の偶数の因数の積は 4 k +1 の形式になるため、この最後の行には 4 k +3 の形式の奇数の素因数を持つ数値のみが含まれます。これは全体的な状況を理解する手がかりとなります。

任意の数nの場合は、その素因数に依存します。我々は持っています：

2 平方定理 (一般的な場合) —整数は、4 k + 3 の形式の素因数がそれぞれ偶数乗で出現する場合に限り、2 つの平方の和になります。

したがって、 30 = 2.3.5 , 3 は素因数への因数分解で指数1 とともに発生するため、 30 は二乗和ではありません。一方、 45 = 3 ² .5は、3 の 2 乗であるため、二乗和になります ( 45 = 6 ² + 3 ²であることがわかります)。

和が与えられた整数nに等しい正方形のペアの数の問題もさらに難しく、この数は 4 k +1 の形式のnの因数の指数に依存します。書くことで

$$ {n=n’p_1^ap_2^bp_3^c…} $$

ここで、n’ は 2 と 4 k +3 の形式の素因数でのみ割り切れます。また、異なるp _{i が}4 k +1 の形式の素因数である場合、 nは 1/2(a+1) ( b+1)(c+1)…指数 a、b、c、… の少なくとも 1 つが奇数で、1/2(a+1)(b+1) の場合、2 つの平方和の異なる分解) )(c+1)…すべての指数が偶数の場合は +1/2 分解。

この分解数の別の同等の表現は、 Charles Gustave Jacob Jacobiによって与えられました。

2 平方定理 (補数) — n を整数とする

$$ {\geq 1} $$

r ₂ ( n ) は、2 つの平方和としてnを表現する数です。 d ₁ (またはd ₃ ) を、1 (または 3) を法とするnに合同な n の約数 (必ずしも素数ではない) とすると、次の式が検証されます。

r2 ( n ) = _4(d1(n)−d3 ( n ) ₎ _。

符号や順序だけが異なるものも含め、すべての表現を数えます。例えば、

$$ {5 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 = (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2} $$

は 2 つの平方の和として 8 つの表現を認めます。この記述と証明は、Hardy & Wright の「数論入門」 、定理 278 に記載されています。

最後の重要な側面は、合計が指定された整数nに等しい正方形を明示的に構築することです。

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一般的なケース

参考資料

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