導入
代数における累乗演算は、数値a を単独で数回連続して乗算することで構成されます。この演算に関係する要素の数は、この用語の表記上の意味で、数字aの後に上付き文字で示されます。このため、この因数の数は依然としてべき乗演算の指数 (数学的意味)と呼ばれており、この名前が演算自体の名前を不適切に置き換えることがあります。
したがって、 nが 2 以上の自然数で、実数または複素数の場合は、次のようになります。
- $$ {a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n facteurs}} $$
これは「 a power n 」、または不適切には「 a exponent n 」と読み取られます。特に、 2 乗と3 乗はそれぞれ 2 と 3 のべき乗です。すべての要素はそれ自体の指数 1 の累乗に等しくなりますが、慣例によりゼロの指数の累乗は 1 になります。
要素が可逆である場合、その負の指数のべき乗は、その逆数のべき乗として定義されます。たとえば、 a がゼロ以外の実数の場合:
- $$ {a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}.} $$
べき乗演算は、他の基本的な代数演算よりも優先されます。
数のべき乗に対する代数演算には、特定の特性があります。 10⁻⁵ などの 10 の累乗は、他の科学、特に物理学や化学で定期的に使用されます。
正の指数を持つべき乗
任意の数aとゼロ以外の自然数n を考慮します。 aの n 乗は、 a nと表され、「 a乗n 」または「指数n 」と読み取られ、この数値a をn回乗算した結果になります。
- $$ {a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n facteurs}} $$
数値n は、累乗a nの指数と呼ばれます。
数値nは自然数 (したがって正) であり、 a n はaの正の整数指数を持つべき乗です。
- 特殊な場合
- a¹ = a ;
- a² をaの 2 乗または 2 乗と呼びます。
- a³ をaの 3 乗または 3 乗と呼びます。
非ゼロの自然数nが何であれ、 1 n = 1と同様に0 n = 0であることは簡単にわかります。
負の指数を持つべき乗
ここで、ゼロ以外の数aと自然数nを考えます。数値a – n は、「 a の累乗マイナスn 」、または言葉の乱用により「指数マイナスn 」と読み取られますが、 aの n 乗の逆数です。つまり、次のようになります。
- $$ {a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.} $$
この定義から 0 を除外する必要があることは理解しています。なぜなら、0 を含めると 0 で除算することになり、これは不可能だからです。
数値-n は、 a -nのべき乗の指数です。
数値-nは負です。nは自然数であるため、 -nは負の指数をもつaのべき乗です。特に、 a⁻¹ = 1/ a (数値aの逆数) に注意してください。
この規則を適用して、正のべき乗を負のべき乗の逆数に変換できます。
- $$ {a^n=\dfrac{1}{a^{-n}}} $$
ゼロ指数での電力
厳密に正の実数 a については、慣例によりa⁰ = 1 と設定します。実際、次のように書くことができます。
特定のコンテキストでは、規則 0⁰ = 1を設定すると便利な場合があります。たとえば、空のセットをそれ自体にマップする集合の要素の多項式が 1 の値であることを識別する場合です。
ただし、アプリケーションは、
