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非標準分析について詳しく解説

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17世紀に微分微積分と微積分が誕生すると、微量微積分の導入と使用が始まりました。ライプニッツやオイラーはそれを大いに活用しました。しかし、これらの無限小の本質そのものを完全に解明することはできませんでした。コーシーからヴァイエルシュトラスやデデキントに至るまで、分析における厳密性の発展に伴い、 19世紀にそれらの使用は消滅しました。

無限に小さいものの厳密な導入が提案されたのは20世紀の後半になってからでした。 1960 年、エイブラハム ロビンソンは、超強力な力によって無限に小さいものを定義しました。

$$ {\mathbb R} $$
したがって、新しい理論、非標準的な分析が生まれました。そのすぐ後に、ネルソンは、新しい述語である標準述語が追加されたゼルメロ・フランケル公理​​に基づいた、非標準分析のより分かりやすいプレゼンテーションを提供します。この新しい述語の動作は、次の 3 つの新しい公理に基づいています。

  1. 理想化公理
  2. 標準化の公理
  3. 転移公理

これら 3 つの公理は、IST という名前でよく知られています。

これらの公理によって与えられる標準修飾子の意味は、知覚可能な地平線に属するオブジェクトの意味であり、知覚可能な地平線を超えたものとしての非標準です。したがって、セットは標準または非標準 (チャームドとも言います) になる可能性があり、両方であることはできません。古典数学の通常のオブジェクトは標準 (1、2、 π 、…) になります。無限に小さい、または無限に大きいものを導入すると標準外になります。

非標準的な分析への関心

アプリケーションには次の 2 種類があります。

  • 非標準的な分析の枠組みで証明された古典的な記述は、古典数学の枠組みでは真実であることが確立されました。この状況は、最終結果が非常に現実的である限り、虚数の使用を許可していた 1800 年以前の数学者に完全に匹敵します。したがって、非標準的な分析により、古典的な定理の新しい (多くの場合、より単純な) 実証が可能になります。
  • 非標準的な解析により、数学者に非常に多くの問題を引き起こし、解析が禁止されていた無限に小さいまたは無限に大きい数の新しい概念を操作することも可能になります。したがって、複雑な分析が実際の分析よりも一般的であるのと同様に、これは古典的な分析よりも一般的です。
  • しかし、非標準的な分析はこれまでのところほとんど影響を与えていません。これを使用して開発された新しい定理はほとんどなく、現時点では本質的に、新しい概念を使用して分析全体を書き直すことになります。
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公理

  • 私たちは、ツェルメロ・フランケル集合理論（ジョルデイン氏のように、私たち全員が知らず知らずのうちに実践している集合理論）の枠組みの中に自分自身を置いています。
  • この理論によって定義されるオブジェクトまたはセットは、内部または古典として認定されます。これは、私たちが知っているすべての通常のオブジェクトとセットに当てはまります。
    $$ {\pi, e, 2, \mathbb N, \mathbb R, \mathbb C} $$
    …
  • ツェルメロ・フランケル理論とは無関係で、前の集合と内部オブジェクトに適用される新しい述語を導入します。このようなセットまたはオブジェクトは、標準または非標準として説明できます。たとえば、標準の整数と非標準の整数について話すことができます。 「標準」という言葉は、「一緒に」や「メンバーシップ」という言葉が定義されていないのと同様に、定義されていません。これらは私たちが原始的な概念と呼ぶものです。以下の公理を使用して、この新しい概念をどのように使用できるかを説明するだけです。
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理想化の公理

R(x,y) を古典的な関係とします (古典的な関係とは、そのステートメントに新しい「標準」述語が含まれていない関係です。したがって、これは私たちの日常の数学における通常の関係です)。理想化公理は、次の 2 つの命題が同等であると述べています。

  1. 有限の標準部分 F ごとに、F に属するすべての y に対して R(x,y) となるような、 x Fで示される要素 x が存在します。
  2. すべての標準y に対して R(x,y) となるような E の要素 x が存在します。

この公理は、すべての標準 y 要素に対して相対的な特性を満たす要素 x を見つけるには、任意の有限標準集合の y 要素に対してそのような x を見つけることが必要かつ十分であることを意味します。

例 1: すべての標準整数より大きい整数があります

すべての標準整数 y に対して、x > y となる x 整数が存在することを示したいと思います。 R(x,y) を次のように定義します: x は整数、y は整数、x > y。理想化公理の命題 1 は十分に検証されています。F が有限である場合 (さらに標準かどうか)、F の整数 y 要素より大きい整数 x が存在します。その結果、理想化公理は命題 2 も検証され、これは私たちの声明に一致します。

したがって、すべての標準整数よりも大きい整数 x が存在します。したがって、この整数は非標準になります。そうでない場合は、それ自体より大きくなります。したがって、少なくとも 1 つの非標準整数が存在することを示しました。 x より大きい整数は、当然のことながら標準外です。そうでない場合、x はそれらより大きくなります。このため、全体的には、

$$ {\mathbb N} $$
整数、非標準の整数は、アクセスできない、無制限、または無限に大きいとも呼ばれます。 「無制限」という用語はおそらく適切な選択ではありません。このような整数は無限であると信じてしまう可能性があります。しかし、すべての整数は有限です。したがって、私たちはアクセス不可能または無限に大きいという用語を好みます。非標準の整数は超自然とも呼ばれます。

例 2: すべての無限セットには非標準の要素があります

無限集合 E 内の y とは異なる関係 x を考えてみましょう。標準有限部分 F ごとに、E に属するx Fで示される要素 x を見つけます。E は無限であるため、F に属するすべての y について x は y とは異なります。

次に、理想化公理は、E に属し、E に属するすべての標準要素 y とは異なる魅力的な (または非標準) 要素 x の存在を提供します。

次の性質を推定します。

すべての無限セットには、少なくとも 1 つの魅力的な要素があります。

そして対比すると：

集合のすべての要素が標準である場合、この集合 E は有限です。(1)
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例 3: ネルソンの定理

この定理は、E が集合である場合、E のすべての標準要素を含む E の有限部分 X が存在することを示しています。したがって、集合の標準要素の数は有限です。これを行うために、次の関係 R(X,y) を定義します。X は E に含まれており、X は有限であり、y が E の要素である場合、y は有限部分 F (標準か非標準か) について検証された要素になります。その結果、理想化公理の命題 2 により、ネルソンの定理を検証することが可能になります。

公理によって与えられる部分 X は内部または古典的な部分であることに注意してください。必ずしも E の標準要素だけに限定されるわけではありません。アプリオリに、「標準である」という非古典的関係から定義される標準要素の集合は外部の対象、つまり通常の数学にとって異質なものだからです。実際、「標準である」という関係は、 ZFCの公理が適用される関係の 1 つではありません。これは、標準の整数のみを含むセットが存在しないことを意味します。したがって、整数では、セットは

転移の公理

古典的な値 F のすべてのパラメータE i が標準値を持つとすぐに、次のようになります。

すべての標準 x について、F(x, E 1 , …, E n ) の場合に限り、すべての x について F(x, E 1 , …, E n )

言い換えれば、標準パラメータに依存する通常の公式がすべての x に対して真であることを検証するには、すべての標準 x に対してそれを検証するだけで十分です。直感的には、標準要素にのみアクセスでき、これらによって古典的な公式を検証できるようになります。この公理は（否定によって）次のように表現することもできます。

x, F(x, E 1 , …, E n ) が存在する場合に限り、標準 x, F(x, E 1 , …, E n ) が存在します。

古典的性質が x に対して真である場合、それは標準 x に対しても真です。以下にいくつかの結果を示します。最も重要なことは、数学的オブジェクトが標準オブジェクトから独自の方法で古典的に定義されている場合、それは必然的に標準であるという事実です。したがって、これは次の場合に当てはまります

$$ {\varnothing, 0, 1, 2, \pi, e, i, 2, \mathbb N, \mathbb R^n} $$
n標準の場合。同様に、E と F が標準集合である場合、それらの積、和集合、積、F における E の適用の集合、E の部分の集合についても同じことが当てはまります。 aとbが 2 つの標準数の場合、 ab 、 a + b 、 a – b 、 a / bなどにも同じことが当てはまります。 nが標準の場合、 n +1 または I n = {1, …, n } にも同じことが当てはまります。 A が標準の一部である場合、
$$ {\mathbb R} $$
有界、Sup A および Inf A が標準です。 f が標準関数 (つまり、標準および標準グラフ セットで定義されている) の場合、標準要素のイメージは標準です。

最後に、この公理により、2 つの標準セットが等しいことを確認するには、それらが同じ標準要素を持っていることを検証するだけで十分であることがわかります。したがって、唯一の標準的な部分は、

$$ {\mathbb N} $$
すべての標準整数を含むものは
$$ {\mathbb N} $$
彼自身。一方、すべての標準整数を含む非標準部分、つまり非標準nを含む部分 {0, 1, 2, …, n } が存在します。

標準化の公理

E を標準セット、または P を「標準」公準に関係するかどうかに関係なく任意のプロパティとする。それで ：

すべての標準 x について、x が E に属し、P(x) を満たす場合に限り、x が A に属するような標準集合 A が存在します。

この公理は、プロパティ P が非古典的である (「標準」 公準を使用する) 場合にのみ重要です。 A は、性質 P を満たす E の標準要素を標準要素とする標準集合に他なりません。A に他の要素がある可能性はありますが、それらは非標準になります。さらに、標準セットはこれらの標準要素によって一意に定義されるため、A は一意であることになります。これを標準化コレクション { x element of E | と呼びます。 P( x )} は、先験的に、ZFC の意味では集合ではありません。この公理に与えられる直感的な解釈は次のとおりです。コレクション { E のx要素 | P( x )} には直接アクセスできません。標準化されたものしか考えられません。性質 P が「標準」公準を使用する場合、この性質はツェルメロ・フランケルの公理とは異質であり (「標準」という単語はこの公理の一部ではないため)、したがってコレクション { x E | の要素P( x )} は、ツェルメロ・フランケルの意味での集合ではないため、これをコレクションと呼びます。 (より技術的に言えば、プロパティ P は必ずしも集団化しているわけではなく、{ x element of E | P( x )} という表記は、形式的には、たとえば、すべての集合を指定する { x | x = x } と同様に違法です。セット）。

たとえば、E = を考えてみましょう。

$$ {\mathbb N} $$
、および P( x ) プロパティxは標準です。コレクション { E のx要素 | P( x )} は標準要素のコレクションです。標準化されたサウンドは、すべての標準要素を含む標準セットです。
$$ {\mathbb N} $$
。それがそうであったことはすでに見てきました
$$ {\mathbb N} $$
彼自身。

ここで E = を考えてみましょう

$$ {\mathbb N} $$
、および P( x ) プロパティxは非標準です。コレクション { E のx要素 | P( x )} は、非標準要素のコレクションです。その標準化されたものは空集合です。

非標準分析の数値

整数

「標準」という言葉を使用しない内部または古典的なプロパティまたはセットを呼ぶことに注意してください。この単語を使用してプロパティを外部または非古典と呼びます。既知の古典的なプロパティはすべて、非標準分析でも引き続き有効です。それで、

$$ {\mathbb N} $$
この公理が古典的な性質に適用されるという条件で、漸化公理を検証します。

一方、標準述語は非古典的であるため、漸化の公理は適用されません。したがって、0 が標準です。 nが標準の場合、 n + 1 も同様です。ただし、すべての標準整数よりも大きい非標準整数が存在します。このような非標準の整数は、無限大と呼ばれます。

標準の整数は、非標準の整数よりも小さくなります。 nが標準外の場合、 nおよびn – 1 より大きい要素にも同じことが当てはまります。

$$ {\mathbb N} $$
次のように：

0 1 2 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 n -1 n n +1 。 。 。
標準整数の後に非標準整数が続く

これらの集合は古典的ではないため、標準整数の最大値について語ることができないのと同じように、非標準の最小整数について語ることはできません。したがって、次の古典的な性質を適用することはできません。

$$ {\mathbb N} $$
。

P が何らかのプロパティである場合、次のようになります。

$$ {\mathbb N} $$
次の制限された再発の原則を検証します。

P(0) が true で、 n 個の標準すべてについて P( n ) が P( n +1) を意味する場合、 n 個の標準すべてについて P( n ) が検証されます。

本物

全体を分割できることを示します

$$ {\mathbb R} $$
実数:

  • 無限に小さい、または無限に小さい、実際の標準よりも絶対値​​が劣るもの。 0 以外は規格外です。 x – y の微小はx ≈ yと表されます。 xとy は限りなく近いと言えます。
  • 無制限で、実際の（または全体の）標準よりも絶対値​​で優れています。それらは規格外です。それらの逆数は無限小です。
  • 貴重なものたち。かなりのものと極小のものは、有限な現実の一部です。

たとえば、数値 0 が無限に大きい整数の場合、0.000…01 は無限に小さくなります。この数値は限りなく 0 に近づきます。

n が無限に大きい整数の場合、1/ nは無限に小さくなります。

また、制限された実数xごとに、差x – ° xが無限小となるような固有の実数 ° x基準が存在することも示します。 ° x はxの標準部分と呼ばれます。

たとえば、数値 3 が無限大の整数である 0.3333….333 は、標準部分が 1/3 である非標準限定実数です。

任意の有限実数は、標準 + 無限小形式に一意に分解されます。

与えられた実数に限りなく近い実数は、この実数のハローを構成します。

非標準の分析スイート

シーケンスの非古典的プロパティを与えます。標準シーケンスの場合、これは通常のプロパティと一致します。

数列の収束

標準シーケンス( a n )の場合、以下の間には等価性があります。

  1. 数列( a n )はlに収束します
  2. l は標準であり、無限に大きいすべてのnに対して、 a n ≈ l

実際、 ( a n )が標準であり、 lに向かって収束する場合、その極限は (変換により) 標準であり、次の条件を満たします。

すべての ε > 0 に対して、すべてのn > N に対して、 | となるような N が存在します。 a n – l | <ε

転送により、次のようになります。

すべての ε 標準 > 0 に対して、すべてのn > N に対して、 | となるような N 標準が存在します。 a n – l |

n を無限に大きくすると、 n はN より大きくなります。 a n – l | < ε であり、この不等式がすべての標準 ε について検証されると、 n ≈ l が得られます。

逆に、すべての無限に大きいnに対して、標準lでa n ≈ lである場合、次のようになります。

すべての標準的な ε > 0 に対して、すべてのn > N に対して、 | となるような N が存在します。 a n – l | <ε

N を無限大にすれば十分です。

そして転送による：

すべての ε > 0 に対して、すべてのn > N に対して、 | となるような N が存在します。 a n – l | <ε

それが収束の定義です。

記載された等価性は標準シーケンスに対してのみ有効であることに注意してください。実際にa n = (−1) n α を無限に小さい α で定義すると、すべてのnに対してa n ≈ 0 になりますが、シーケンス( a n )は収束しません (ただし、このシーケンスは標準シーケンスではありません)。

部分列の収束

標準シーケンス( a n )の場合、以下の間には等価性があります。

  1. lに収束する( a n )の部分列が存在します。
  2. l は標準であり、 ( a n ) ≈ lとなるn が無制限に存在します。

実際、 l が( a n )の部分列の極限である場合、 l は転移により標準であり、すべての ε > 0 に対して、 | となるようなnの無限大が存在します。 a n – l | <ε。したがって、この性質は無限に小さい ε に対して当てはまり、 nの無限大によって証明され、標準整数は有限数しか存在しないため、次のような無限に大きいnが存在します。 a n – l | <ε。しかし、ε は無限に小さいので、これは( an ) ≈ lを意味します。

逆に、 ( a n ) ≈ lとなるような無制限のn が存在する場合、次のようになります。

すべての標準 ε > 0 に対して、すべての標準 N に対して、n > N が存在します。 a n – l | <ε

えー、転送で：

すべての ε > 0、すべての N について、n > N が存在します。 a n – l | <ε

これは、 l が数列( a n )の付着値であることを表しており、この場合、収束する( a n )の部分列が存在します。

これから、 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を導き出します。この定理は、任意の有界実数列から、収束する部分列を抽出できることを示しています。転移により、この定理を標準数列で証明するだけで十分です。 ( a n ) を標準の有界シーケンスとします。変換によって( a n )標準の上限と下限を取得できるため、そのすべての項は制限されます。次に、 n を無制限とし、 l = ° a nのa nの標準部分を取得します。次に、前に示した等価性を適用し、プロパティ 2 を検証します。

非標準分析について詳しく解説

コーシー スイート

標準シーケンス( a n )の場合、以下の間には等価性があります。

  1. ( a n ) はコーシー数列です
  2. すべての無制限のnとpについて、 a n ≈ a p

デモンストレーションは、前の段落と同様の手順に従います。

それを示してみましょう

$$ {\mathbb R} $$
、すべてのコーシー数列は収束します。送迎の場合、この施設をスタンダード スイートで表示するだけで十分です。 ( a n ) をそのようなシーケンスとします。それは有界です。実際、標準整数は有限数しか存在せず、無制限のn を持つすべてのa n は、そのうちの 1 つの同じハロー内にあります。乗り換えでは標準の端末を選ぶことができます。したがって、シーケンス内のすべての項は制限されます。次に、 l = ° a pのa pの標準部分 ( pは無制限) をとります。次に、すべての無制限のnに対して、 a n ≈ a p ≈ l となるため、数列はlに収束します。

非標準分析の機能

連続

関数の連続性

$$ {\mathbb R} $$
非標準分析を使用すると、より簡単に定義されます。標準関数の場合、以下は同等です。

  1. f は連続です
  2. 無限に小さいyおよび標準xの場合、 f ( x + y ) はf ( x )に限りなく近づきます。

中間値定理を次のように証明します。 f がf ( a ) < 0 およびf ( b ) > 0 であるセグメント [ a , b ] 上で継続するとします。その場合、 f ( c ) = 0 となるc がaとb の間に存在します。実際、転送により、それは標準f 、 a 、 bに対するこの定理を示すには十分です。 N を無制限の整数とし、

$$ {x_k = a + k{b-a \over N}} $$
0 から N までのkについて。K が最初のkである場合、
$$ {f(x_k) \ge 0} $$
次に、 cとしてx Kの標準部分を取ります。 c がx Kおよびx K − 1に無限に近い効果があるため、 f ( c ) は正またはゼロの実数f ( x K )に無限に近づき、負の実数f ( x K − 1 )に無限に近づきます。 。標準では、 f ( c ) はゼロです。

f が最大値と最小値を許容することを比較可能な方法で示します。

均一な連続性

標準関数の場合、以下は同等です。

  1. f は一様連続です
  2. すべての無限に小さいyとすべてのxについて、 f ( x + y ) はf ( x )に限りなく近づきます。

たとえば、 x 2 をxに関連付ける関数は連続です。xが標準でy が無限に小さい場合、次のようになります。

( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ≈ x 2 x は有限であるため、 xy はy 2と同様に無限に小さくなります。

一方、 xが無限に大きく、 y = 1/ xの場合、( x + y ) 2 = x 2 + 2 + y 2となり、 x 2に無限に近づくわけではないため、この関数は一様連続ではありません。

セグメント [ a , b ] では、任意の連続関数fは一様連続です。転移により、標準f 、 a 、およびbに対してこのプロパティを示すだけで十分です。セグメントの要素はすべて制限されるため、すべてに標準パーツが認められます。 xが [ a , b ] の要素、° x がその標準部分、 y が無限に小さい場合、次のようになります。

f ( x + y ) = f(° x + z ) ( z = y + x − ° xは無限小)
したがって、° xにおけるfの連続性により、 f ( x + y ) ≈ f (° x ) ≈ f ( x ) となります。

導出

標準間隔で定義された標準関数の場合

$$ {\mathbb R} $$
、 x 0標準の場合、次の間には等価性があります。

  1. f はx 0で導関数lで微分可能です
  2. すべての x がx 0に無限に近い場合、
    $$ {{{f(x)-f(x_0)}\over x-x_0}} $$
    ≈ l 、標準のlを使用します。

統合

標準関数f on [ a , b ] = I standard の場合、以下は等価です。

  1. fリーマンの意味で可積分
  2. [ a , b ] a = x 0 < x 1 < … < x n = b ( x i ≈ x i +1 )の任意の細分割に対して、その細分割に関連する 2 つのステップ関数 φ と ψ が存在します。 I のすべてのx 、φ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ψ( x )、および
    $$ {\int_a^b \psi – \phi} $$
    ≈ 0. 次に、次のようにします。
    $$ {\int_a^b f} $$
    の標準的な部分
    $$ {\int_a^b \phi} $$
    または
    $$ {\int_a^b \psi} $$
    。

その他の概念

標準的なオブジェクトに適用した場合の、古典的な分析の概念と同等の非標準的な分析の例を以下に示します。これらは、調査対象の領域の広さを示すことを目的としています。

  • 関数のシーケンス( fn ) のfへの単純な収束:すべての無限に大きいnとすべての標準xについて、 fn ( x ) ≈ f ( x )。
  • 関数のシーケンス ( fn ) のfへの一様収束:無限に大きいすべてのnとすべてのxについて、 fn ( x ) ≈ f ( x )。
  • 空間 K のコンパクトさ: K 内の任意の点はほぼ標準です (点が標準点に限りなく近い場合、その点はほぼ標準です)。
  • 空間の完全性E: 準標準点はほぼ標準です (すべての標準 r に対して、 x が標準点からr未満の距離にある場合、点xは準標準です)

参考文献

  • アラン・ロベール、非標準分析、プレス・ポリテクニック・ロマンド、1985
  • E.Nelson、内部集合理論、NSA への新しいアプローチ、 Bull .AMS、83 (1977) pp 1165-1198
  • E. ネルソン、根本的な初等確率理論、プリンストン大学出版局、1987 年
  • E.Nelson、確率の根本理論（翻訳）、 http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/rept/rept.pdf
  • ゲーデル、エッシャー、バッハ – ダグラス・ホフスターダー (InterEditions 1985)
  • 微積分のレッスン – アンドレ・デレディック/マーク・ディーナー (Armand Colin 1989)
  • 非標準分析 – F. Diener、G. Reeb (Hermann 1989)

参考資料

  1. অনাদর্শ বিশ্লেষণ – bengali
  2. Стандартлă мар анализ – tchouvache
  3. Nichtstandardanalysis – allemand
  4. Nonstandard analysis – anglais
  5. Análisis no estándar – espagnol
  6. Mittestandardne analüüs – estonien

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