導入
数学では、幾何代数は幾何学的解釈を伴う多線形代数です (この用語は、これらの代数の研究と応用を説明するために、より一般的な意味でも使用されます。幾何代数は幾何代数の研究です)。非公式には、幾何代数は幾何積を含むクリフォード代数です。
幾何代数は、回転、位相、虚数を含む物理問題に役立ちます。幾何代数の支持者は、幾何代数が量子力学、古典力学、電磁気理論、相対性理論をよりコンパクトで直感的に説明できると主張しています。幾何代数の現在の応用には、コンピュータービジョン、生体力学のほか、ロボット工学や宇宙飛行力学などがあります。
幾何学積
幾何代数
$$ {\mathcal G_n(\mathcal V_n)} $$
ベクトル空間上に構築された代数です
$$ {\mathcal V_n} $$
ここでは
幾何積が定義されています。幾何代数の要素は複数ベクトルです。幾何積には、すべてのマルチベクトルに対して次の特性があります。
$$ {\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}} $$
:
- フェンス
- マルチベクトルの加算に関する分布性:
- 結合性
- 単位要素 (スカラー):
- テンソル短縮:任意の「ベクトル」(次数1 の要素) に対して
$$ {\mathbf{a}, \mathbf{a}^2} $$
スカラー (実数) です - スカラーによる積の可換性:
プロパティ (1) と (2) は、体上の代数に必要なプロパティの 1 つです。 (3) と (4) は、幾何代数が単一結合代数であることを意味します。
この定式化の特徴的な点は、結合代数の実体と要素間の自然な対応です。これは、幾何積がベクトル積とベクトルのスカラー積に関して次のように定義されるという事実から生じます。
$$ { \mathbf a \, \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b } $$
元のベクトル空間
$$ {\mathcal V} $$
スカラーとしての実数に基づいて構築されます。これからは、
ベクトルは何かの中にあります。
$$ {\mathcal V} $$
彼自身。ベクトルは太字の小文字記号で表されます。
幾何積の定義と結合性には、ベクトルの逆数(またはベクトルによる除算) の概念が必要です。したがって、扱いが面倒なベクトル代数方程式を簡単に確立して解くことができます。さらに、たとえば行列を使用して検索するのが難しい幾何学的意味も得られます。すべての要素が反転可能であるわけではないという事実にもかかわらず、反転の概念はマルチベクトルに拡張できます。幾何代数を使用すると、部分空間とその操作を直接扱うことができます。さらに、幾何代数学は座標を持たない形式主義です。
幾何学的なオブジェクトのような
$$ { \mathbf a \wedge \mathbf b } $$
バイベクトルと呼ばれます。バイベクトルは、
方向を持つ平面セグメント (平行四辺形、円など) として記述できます。バイベクトルは、平面セグメントを含む空間内のどこにあるかに関係なく、同じ大きさ
と方向を持つすべての平面セグメントを表します。ただし、ベクトルが
$$ { \mathbf a } $$
または
$$ { \mathbf b } $$
特定の優先点 (物理問題など)、方向付けされた平面からのことを意味します。
$$ { B=\mathbf a \wedge \mathbf b } $$
は一義的に決定されます。
単純ではあるが重要な例として、非ゼロベクトルを考えることができます。
$$ { \mathbf v } $$
、通常のユークリッド空間で、原点として選択された点から、
$$ {\mathbb{R}^3} $$
。すべてのベクトルのセット
$$ { \mathbf x \wedge \mathbf v = B } $$
、
B は、以下を含む特定のバイベクトルを示します。
$$ { \mathbf v } $$
、に平行な直線
l を決定します。
$$ { \mathbf v } $$
。
B は有向領域であるため、
l は選択した原点を保存することによってのみ決定されます。すべてのベクトルのセット
$$ { \mathbf x \cdot \mathbf v = s } $$
、
s は指定された (実数) スカラーを表し、それに直交する平面 P を決定します。
$$ { \mathbf v } $$
。繰り返しますが、P は選択された原点を保存することによってのみ決定されます。 2 つの情報
Bと
s は、互いに独立して確立できます。さてベクトルは何ですか
$$ { \mathbf y } $$
これはシステム { を満たす
$$ { \mathbf y \wedge \mathbf v = B } $$
、
$$ { \mathbf y \cdot \mathbf v = s } $$
}?幾何学的には、答えは明らかです。原点から始まり、
lと P の交点で終わるベクトルです。幾何代数によって、代数的な答えも簡単です。
$$ { \mathbf y \mathbf v = s + B \Rightarrow \mathbf y = (s + B)/ \mathbf v = (s + B) \mathbf v } $$
-1 、非ゼロベクトルの逆数は次のように表されます。
$$ { \mathbf z } $$
-1 $$ { = \mathbf z /(\mathbf z \cdot \mathbf z ) } $$
。
注:ベクトルで除算すると、マルチベクトル
s + B が2 つのベクトルの和に変換されます。さらに、解の構造は選択された原点に依存しません。
定義どおり、外部積(または外部積、またはベクトル積)
$$ {\wedge} $$
段階的代数 (ヘルマン・グラスマンの外部代数) を生成します。
$$ {\wedge^n\mathcal{V}_n} $$
マルチベクトル。したがって、マルチベクトルは次数
k (
k -vectors ) の要素の直接和になります。ここで、
k は0 (
スカラー) から
n (元のベクトル空間の
次元) までとなります。
$$ {\mathcal V} $$
。マルチベクトルは、ここでは太字の大文字で表されています。
注:スカラーとベクトルはマルチベクトルの特殊なケースになります (それぞれ「0 ベクトル」と「1 ベクトル」)。
