導入
流れ、流れ、さらには電流は、数学では 微分幾何学で使用される概念です。これは、ベクトル場の概念、つまり、Banach と呼ばれる完全なベクトル空間Eの開いた Ω の点xでEのベクトルを関連付ける関数fに関連付けられています。このような場は、タイプ α'( t )= f (α( t )) の微分方程式を定義します。関数fが局所的にリプシッツ関数である場合、 Uの各点xに対して、最大実区間と、最大区間で定義された関数 α xが存在します。いわゆるコーシー条件 α x ( 0 ) による(1)の解です。 = x 。 2 つの変数tとx の関数として見ると、マップ α はベクトル場fの流れと呼ばれます。この定義は、時間ベクトル場の場合 (つまり、 Rで値を取る変数tに依存する) とパラメーターλ に依存する場合に一般化されます。流れとベクトル場は、 t 、 x 、 λ の 3 つの変数の関数になります。
ベクトル場fが正則であれば、その流れは微分方程式理論の柱であるいくつかの定理をサポートします。関数fがクラスC pの場合、フローも同様です。この結果は、コーシー・リプシッツの定理の発展形とみなされることもあります。関数f がtimeに依存しない場合、流れの整流定理は、局所的にはベクトル場が定数場と等価であり、この等価性により流れが ( x , t ) でx + tv を関連付ける関数に変換されることを示します。 v は定数フィールドの一意のイメージです。
フローは数学のさまざまな分野で使用されます。微分方程式の定性分析では、ポアンカレ-ベンディクソンのような定理を表現するための枠組みです。流れの概念は、一般的に連続動的システムの研究で見出されます。代数トポロジーでは、ヘアリー ボール定理またはブラウワーの不動点定理を実証するために使用されます。数学の高度な文脈において、フローはグリゴリ ペレルマンがポアンカレ予想を実証するために使用する基本的なツールです。フローの使用は数学の厳密な枠組みを超えています。たとえば、リッチ フローは、物理学における一般相対性理論の方程式の表現様式の根源にあります。
定義
導入
記事の残りの部分では、 E はバナッハ空間を示し、Ω はEの開放空間を示します。記号(1)は微分方程式x’ = f ( x ) を示します。ここで、 f はΩ およびEの値で定義された関数です。 (2)方程式x’ = f ( t , x ) を示します。式(2)の場合、Ω はR x Eの開放を示し、 f は常に Ω とEの値で定義される関数です。どちらの場合も、関数fは局所的にリプシッツ関数です。記事内でCと呼ばれるコーシー条件は、方程式の解sが満たす条件です。 (1)の場合、それはs (0) = x 0を意味し、 (2)の場合、選択された表記は次のとおりです: s ( t 0 ) = x 0 。 3 番目のケースは、より一般的で、特に特定の微分方程式の特異点の研究を可能にします。式(3)は次のことを示します: x’ = f ( t , λ, x )。この場合、Ω はR x F x Eの開であり、 F は依然としてバナッハ空間であり、 f は常に局所的にリプシッツ的です。
このフローにより、微分方程式に関する 2 つの問題、つまり初期条件に対する感度と漸近挙動の研究に適合した語彙を形式化することが可能になります。これらの疑問は、システムダイナミクスと呼ばれる数学の一分野の中心にあります。
コーシー条件と呼ばれる初期条件を少し変更すると、変数tが増加すると、方程式の解が元の積分曲線からどんどん離れていく可能性があります。これは、たとえば、カオス システムの場合に当てはまります。流れの規則性を研究することで、答えの最初の要素が得られます。
特定の条件下および特定の初期条件では、解は無限に広がり、多かれ少なかれ安定します。ある値に収束したり、より周期的な動作に近づいたり、発散したり、カオスと呼ばれる別の動作を採用したりすることもあります。これらのさまざまな行動の研究が2 番目の質問の主題です。
初期状態に対する感度
初期条件に対する感度の研究には、より初歩的なアプローチで使用されるものとはわずかに異なる語彙と幾何学的表現が必要です。この違いの起源を理解するために、最も簡単なことは、自律微分方程式、つまりタイプ(1)の場合を考慮し、Ω が水域であり、 R が時間を表すと想像することです。水域は、ベクトル場と呼ばれる関数fで表される電流によって撹拌されます。次元2 では、右の図のように、Ω の特定の点xとベクトルf ( x ) のグラフィック表現を関連付けることによって、このベクトル場を表します。コーシー条件C を満たす積分曲線は、初期時間0 および位置x 0で水中に置かれたコルクの軌跡として想像できます。微分方程式のすべての解を一度に知るには、流れ、流量、さらには電流と呼ばれる水面の動きを知る必要があるだけです。方程式(2)の一般的な場合、つまり方程式が必ずしも自律的ではない場合、次の定義があります。
- { t 0 }x Uが Ω に含まれるようなx 0の近傍をUとし、 t 0 を含む開区間をJとします。ローカル フローは、 Uのすべてのxに対して、 β t 0 ( t , x ) を関連付けるEのJの適用が曲線コーシー条件となるような、 EのJ x Uの適用 β t 0のデータです。積分 ( t0 , x ) (つまり、 βt0 ( t0 , x ) = x )。
コーシー-リプシッツの定理は、最大積分曲線の存在を保証します。つまり、特定のコーシー条件に対して、最大区間、この区間で定義され、コーシー条件を検証する方程式の一意の解が存在します。この結果、フローに関連付けられた定義を充実させることが可能になります。
- x をEの点、 J x をコーシー条件 ( t 0 , x ) を満たす最大解の定義域に等しい区間とします。たとえば、 ( t 0 , x ) n’ の場合は空になります。はΩの要素ではありません。 D ( f ) を表し、 t がJ xの要素であるような、グローバル フローの定義領域をR x Eのペア ( t , x ) の集合と呼びます。
- fのグローバル フローは、 EのD ( f ) のマップ α t 0です。つまり、 tに α t 0 ( t , x ) を関連付けるマップは、コーシー( t 0 、 x )。
記事の残りの部分では、 α はベクトル場fのグローバル フローを指定します。 α にインデックスがない場合、α( t , x ) をtに関連付ける関数が、コーシー条件 s(0, x ) = x を満たす最大の積分曲線sであることを意味します。それ以外の場合、α t 0 は、α t 0 ( t 0 , x ) = xを検証するグローバル フローを指定します。
漸近的な動作
2 番目の質問は、流れの漸近的な挙動、つまり、システムが安定した場合、安定した場合に何が起こるかに関するものです。これに対処するために、特定の語彙が存在し、一般に微分方程式が自律的に選択されること、つまりベクトル場が時間に依存せず、関連する微分方程式がタイプ( 1)であることを前提としています。
- フロー α による集合不変量は Ω の部分集合Aであり、 a がAの要素であり、 tが ( t , a ) がフローの定義領域の要素である場合、 α( t , a ) もAの要素です。
冒頭の比喩に戻ると、流れ不変集合A は、最初にAに置かれたストッパーが常にAに残るようなものです。動的システムの研究では、不変集合は基本トポロジーにおける接続集合とある程度同じ役割を果たします。軌道が不変セットに入ると、そこから出なくなります。次に、研究をこの領域に限定して、漸近的な動作を決定します。流れ不変集合の例は数多くあり、軌道もその 1 つです。
- Ω の点xの軌道または軌跡は、 x を通過する最大積分曲線の画像内の点の集合です。
t がプラスとマイナスの無限大に向かう傾向がある場合、関連する積分曲線がある値に向かう傾向があるような軌道は、2 つの限界が明確であればヘテロクリニック、それ以外の場合はホモクリニックであると言われます。積分曲線が周期的である場合、軌道は周期的であると言われます。
コーシー-リプシッツの定理は、異なる軌道が Ω の分割を形成することを示しています。研究された流れによって設定される不変条件は軌道だけではありません。
- 画像x を持つ最大積分曲線が存在する場合、またはxが関数fのゼロである場合、Ω のxの点は平衡点、不動点、または静止点であると言われます。 x を含む空でない内部集合が存在し、この近傍との空でない交差を持つ最大積分曲線がxに収束する場合、その点は魅力的であると言われます。
平衡点x eは、電流が流れていない点、またはプラグがそこに置かれると永久に動かない点ですらあります。 2 つの異なる動作が発生する可能性があり、そのポイントが魅力的な場合もあればそうでない場合もあります。このゾーン内の任意の点がx eで停止するような、小さすぎないゾーン (空ではない内部) が存在する可能性があります。この点は、そこに向かって軌道を引き寄せているように見えます。このため、私たちは魅力的な点について話します。そうしないと、 x eに近づく点はいずれも遠ざかってしまい、この平衡点は不安定になり、コルクがそこで静止するようにその点に正確に配置する必要があります。私たちは不安定な平衡について話しています。一般的なケースでは、収束以外の動作も可能です。
- x をΩ の点とし、その最大積分曲線はR上で定義されます。 ω( x ) で示されるxのω 限界セットは、コーシー条件s (0) = x を検証する最大積分曲線の画像の終端セクションの接着の交点です。
このセットは流れによって依然として不変であり、 t が非常に大きくなった場合に、軌道がカバーする限界ゾーンに対応します。 x が非常に小さくなる場合にも同じ定義が適用され、 α 限界セットと呼ばれます。
ω 限界セットの例としては、コルクが渦の周りなど、円を描いて無限に移動することになります。積分曲線の漸近挙動は周期関数の漸近挙動です。
関連する概念としては、アトラクターがあります。将来のアトラクターは、 x がΩ を表す場合、おそらくメジャー ゼロ のセットを除いて、すべてのセット ω( x ) を含む最小のセットです。過去のアトラクターは同じ定義に対応しますが、今回は α 制限セットが使用されます。