確率論について詳しく解説

確率理論は、偶然と不確実性によって特徴付けられる現象の数学的研究です。確率論の中心的な対象は、ランダム変数、確率過程、およびイベントです。これらは、明らかにランダムな方法で時間の経過とともに進化する可能性がある非決定論的なイベントまたは測定量を抽象的な方法で変換します。 確率論は統計の数学的基礎として、多数の測定値の定量的分析を必要とする人間の活動のほとんどに不可欠です。確率論の方法は、統計力学のように、状態が部分的にしかわかっていない複雑なシステムの記述にも適用されます。 20世紀の物理学の偉大な発見は、量子力学によって記述される、顕微鏡スケールでの物理現象の確率的な性質でした。

歴史的

確率の数学理論は、16 世紀のジェロラモ カルダーノ、および 17 世紀のピエール ド フェルマーとブレーズ パスカルによる偶然のゲームの分析に起源を持ちます。単純なコイン投げやサイコロの投げはランダムな出来事ですが、それを何度も繰り返すことで、特定の統計的特性を持つ一連の結果が得られ、それを研究して予測することができます。この点に関する 2 つの基本的な数学的結果は、大数の法則と中心極限定理です。

当初、確率理論は主に離散事象を考慮しており、その手法は主に組み合わせ論でした。しかし、分析的考察により、理論に連続確率変数を導入する必要がありました。この考え方は現代の確率理論に端を発しており、その基礎はアンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフによって築かれました。コルモゴロフは、リヒャルト・フォン・ミーゼスによって導入された宇宙の概念と測定理論を組み合わせて、1933 年に確率論の公理系を発表しました。すぐに、彼のアプローチは現代の確率の議論の余地のない基礎となりました。

離散確率理論

離散確率理論は、可算宇宙の文脈における出来事を扱います。

例: サイコロ振り、カードデッキの実験、ランダムウォーキング。

古典的な定義: 当初、イベントの確率は、そのイベントにとって有利なケースの数を、ランダム実験で考えられる結果の総数で割ったものとして定義されていました。

たとえば、イベントがサイコロを振って偶数の目が出た場合、その確率は次のように求められます。

, 6 つの面のうち 3 つの面が偶数であるためです。

現代の定義: 現代の定義は、古典的な定義における経験の可能な結果のセットに対応する、宇宙と呼ばれるセットから始まります。注目される

。次に、 Ωに対して定義された関数f が必要になります。これは、その確率をΩの各要素に関連付けるため、次の特性を満たします。

1. $$ {f(x)\in[0,1]\mbox{ pour tout }x\in \Omega} $$
2. $$ {\sum_{x\in \Omega} f(x) = 1} $$

次に、イベントを結果のセット、つまりΩのサブセットとして定義します。イベントEの確率は、次のように自然な方法で定義されます。

$$ {P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,} $$

したがって、宇宙の確率は 1 で、ヌル イベント (空集合) の確率は 0 です。

サイコロを振る例に戻ると、サイコロの可能な値に対応する宇宙Ω = {1;2;3;4;5;6}と関数fを与えることで、この経験をモデル化できます。それぞれに

パートナー 。

連続確率理論

連続確率理論は、連続した宇宙 (実線など) で発生する事象を扱います。

古典的定義: 古典的定義は、連続事例に直面すると無効になります (ベルトランのパラドックスを参照)。

現代の定義宇宙が実線なら

、次に、分布関数と呼ばれる関数の存在を仮定します。 、それは与える確率変数の場合つまり、 F ( x ) は、 X がx以下である確率を返します。

分布関数は次の特性を満たす必要があります。

1. $$ {F\,} $$
   は右連続増加関数です。
2. $$ {\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0} $$
3. $$ {\lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1} $$

もし

が微分可能である場合、確率変数は 。

セットの場合

、確率変数がは次のように定義されます。

$$ {P(X\in E) = \int_{x\in E} dF(x)\,} $$

確率密度が存在する場合は、それを書き換えることができます。

$$ {P(X\in E) = \int_{x\in E} f(x)\,dx} $$

確率密度は連続確率変数に対してのみ存在しますが、分布関数は値が次の任意の確率変数 (離散変数を含む) に対して存在します。

。

これらの概念は、次のような多次元の場合に一般化できます。

および他の連続宇宙。

今日の確率論

一部の分布は離散分布と連続分布の混合であるため、確率密度も質量関数も持たない場合があります。カントール分布はそのような例です。確率に対する最新のアプローチでは、測度理論を使用して確率空間を定義することで、これらの問題を解決します。

セットが与えられると

σ代数を備えた宇宙（宇宙とも呼ばれる） 、対策次の場合、 は確率測度と呼ばれます。

1. $$ {\mu\,} $$
   前向きな措置です
2. $$ {\mu(\Omega)=1\,} $$

各分布関数には、ボレリアン上に固有の確率尺度が存在し、その逆も同様です。分布関数に対応する測定は、その関数によって引き起こされると言われます。連続の場合、この測度は、f が分布関数 (必ずしも存在する必要はない) に関連付けられた確率密度である場合、ルベーグ測度のλを持つ測度f d λと一致しますが、離散の場合、定義された関数 f と一致します。以前。

測度理論のアプローチにより、確率の離散理論と連続理論をよりよく理解して統一できるようになるだけでなく、確率の範囲外で確率について話すこともできます。

、特に確率過程の理論において。たとえば、ブラウン運動の研究では、確率は関数空間上で定義されます。

確率の法則

特定の確率変数は多くの自然過程で見られるため、確率論で頻繁に遭遇します。したがって、彼らの法則は特に重要です。最も一般的な離散法則は、離散一様法則、ベルヌーイの法則、および二項法則、ポアソン法則、および幾何学法則です。一様連続法則、正規法則、指数関数法則、およびガンマ法則は、最も重要な連続法則の 1 つです。

確率変数の収束

確率理論では、確率変数の収束についていくつかの概念があります。リストは次のとおりです。

法則の収束: 一連の確率変数

$$ {(X_n)_{n\in\mathbb{N}}} $$

確率変数に向かって法則的に収束します

$$ {X\,} $$

一連の画像測定が行われる場合に限り、

$$ {(\mu_{X_n})_n\in\mathbb{N}} $$

画像測定値_μに近く収束します特に実際のケースでは、分布関数は単純に X の分布関数に収束するだけで十分です。

確率の収束:

$$ {(X_n)_{n\in\mathbb{N}}} $$

確率的には～に収束する

$$ {X\,} $$

ssi

$$ {\forall \epsilon width=} $$

0″ >、

$$ {\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0} $$

。この収束は法律の収束を意味します。

ほぼ確実に収束します:

$$ {(X_n)_{n\in\mathbb{N}}} $$

ほぼ確実に向かって収束する

$$ {X\,} $$

ssi

$$ {P(\{\omega/\lim_{n\rightarrow\infty} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1.} $$

。それは確率の収束、したがって法則の収束を意味します。

での収束$$ {\mathcal{L}^1} $$