二次方程式について詳しく解説

導入

数学では、二次方程式 (二次方程式とも呼ばれます)は次の形式になります。

文字a 、 b 、 cは数値を示し、定義上、 a は0 とは異なります。文字x は未知数を示します。 2次項は、方程式を定義する多項式が 2 次であるという事実から来ています。

2 つの注目すべきアイデンティティにより、可能な解決策を見つけることが可能になります。求められる解が実数の場合、 0から 2 の間 (おそらく組み合わせ) が存在します。判別式を計算すると、解の正確な数を知ることができ、合成的な解決方法が提供されます。

求められる解が複素数である場合、常に 2 つの解が存在しますが、それらは混同される可能性があります。

主要な要素

事例による紹介

次の方程式に対する考えられる解を探しています。

左側の項は2 次三項式と呼ばれます。これは 3 つの項で構成され、すべて同じ形式 (ゼロ以外の数値にxの整数乗を乗じたもの) をとります。各項は単項式と呼ばれ、3 つあるので三項式と呼ばれます。これらの単項式の最大累乗は 2 であるため、2 次について話します。式 0. x ² + x + 1 は、数値の 1 つがゼロであるため、三項式ではありません。この式は依然としてx + 1 と書かれており、一次二項式について話します。

この方法は、最初の顕著なアイデンティティを強制的に出現させることから成ります。多項式を次のように書きます。

最初の 3 つの項は、かなりの金額になります。顕著な恒等式を適用すると、多項式を次のように書くことができます。

少し想像力を働かせることで、2 番目の注目すべきアイデンティティを適用することができます。

最初の方程式は、次の 2 つの要素の積として表されます。

2 つの因子の積は、因子の 1 つがゼロである場合にのみゼロになります。このコメントにより、2 つの解x ₁とx ₂を見つけることができます。

この方程式では正の根x _{1 が}1 つだけ許容されます。この値は黄金比と呼ばれます。代数の知識がほとんどなくても 2 次方程式を解くこともできます。幾何学的手法の段落ではその方法を示しています。

判別式

次の方程式を考えます。ここで、 a 、 b 、 c は実数を示し、 a は0 ではありません。

次のような定義があります。

この定義は、実際の解を求める場合の二次方程式の解法に関連する定理のソースです。

グラフィカルな解釈

判別式の符号は、関数fのグラフに関する情報を提供します。

前の段落の方程式を調べる 1 つの方法は、次のように定義される実数変数の関数f を考慮することです。

この方程式はf ( x ) = 0 と書くこともできます。方程式の解は、関数fのグラフとx軸の交点の x 座標です。関数fのグラフは放物線と呼ばれ、右に示した 3 つの例と同様の形状をしています。 aが正の場合、黄色または青色の例のように、放物線の枝は上向きになります。それ以外の場合、赤色の例のように、枝は下向きになります。

青の例のように判別式が厳密に正である場合、これはfのグラフが 2 点で x 軸と交差することを意味します。判別式がゼロの場合、形状は赤い放物線の形状となり、グラフは正の縦軸の半平面または負の縦軸の半平面に位置し、その固有の極値は横軸上にあります。厳密に負の判別式の場合、黄色の放物線と同様に、グラフは前の 2 つの半平面のいずれかに位置していますが、今回は極値が横軸と一致しません。

したがって、判別式が厳密に正の場合、関数fが解の間で取る値の符号は、方程式の解の最後のセグメントの外側でfが取る値の符号の反対になります。