導入
7 つの母点を持つワイソフ作図三角形の例。アクティブなミラーの線は赤、黄、青に色付けされ、その反対側の 3 つのノードはワイソフ シンボルに関連付けられています。
幾何学において、ワイソフ記号は数学者ウィレム・エイブラハム・ワイソフによって作成された短い記法であり、万華鏡のような構造を使用して正多面体と半正多面体に名前を付け、球面、ユークリッド平面、または双曲面上のタイルとして表します。飛行機。
Wythoff 記号は、3 つの数値p、q、rと、その前後の数値を区切る位置指定の垂直バー (|) を与えます。各数字は、基本三角形の頂点におけるミラーの次数を表します。
各シンボルは均一な多面体またはタイリングを表しますが、同じ多面体/タイリングが異なる対称ジェネレータからの異なるワイソフ シンボルを持つ可能性があります。たとえば、通常の立方体は3 |として表すことができます。対称性のある4 2 O hと2 4 | 2 は2 つの色と対称性 D 4hを持つ正方プリズムとして、 2 2 2 |と同程度です。 3 色と D 2h対称性を備えています。
概要表
p、q、r の各セットには 7 つの生成点があります: (およびいくつかの特定の形式)
| 一般的な | 直角三角形 (r=2) | |||
|---|---|---|---|---|
| 説明 | シンボル ワイソフ著 | 構成 頂上の | シンボル ワイソフ著 | 構成 頂上の |
| 定期的かつ 準レギュラー | q |広報 | (pr) q | q | p2 | pq |
| p | qr | (qr) p | p | q2 | qp | |
| r | pq | (qp) r | 2 | pq | (qp)² | |
| 切り捨てられ、 発展した | qr | p | q.2p.r.2p | q2 | p | q.2p.2p |
| 広報 | q | p.2q.r.2q | p2 | q | p.2q.2q | |
| 質問 | r | 2r.q.2r.p | 質問 | 2 | 4.q.4.p | |
| 顔さえ | pqr | | 2r.2q.2p | PK2 | | 4.2q.2p |
| pq (rs) | | 2p.2q.-2p.-2q | p 2 (rs) | | 2p.4.-2p.4/3 | |
| 柔らかくなった | | pqr | 3.r.3.q.3.p | | PK2 | 3.3.q.3.p |
| | pqrs | (4.p.4.q.4.r.4.s)/2 | – | – | |
一般三角形 (pqr) からのワイソフ構築の 8 つの形状。
特殊なケースが 3 つあります。
- pq (rs) | – pqr |の混合物です。とpqs | 。
- | pqr – 柔らかくされた (交互の) 形状が、この別の珍しいシンボルを与えます。
- | pqrs – ワイソフの意味では構築不可能な、U75 用のユニークな軟化形状。
対称三角形
球面上の反射の対称性には 4 つのクラスがあり、ユークリッド平面には 2 つ、双曲面には無限に多くあります。最初のクラスは次のとおりです。
- (p 2 2)二面対称p=2,3,4… (次数4p )
- (3 3 2)四面体対称(次数 24)
- (4 3 2)八面体対称(次数 48)
- (5 3 2)正二十面体対称(次数 120)
- (4 4 2) –対称 *442 – 三角形 45-45-90 (正方形の領域 (2 2 2 2) を含む)
- (3 3 3) –対称 *333 – 三角形 60-60-60
- (6 3 2) –対称 *632 – 三角形 30-60-90
- (7 3 2) –対称 *732 (双曲面)
| 球面二面体 | 球状 | |||
|---|---|---|---|---|
| D 2時間 | D 3h | T d | おお | 私は |
| *222 | *322 | *332 | *432 | *532 |
 (2 2 2) |  (3 2 2) | 100ピクセル (3 3 2) | 100ピクセル (4 3 2) | 100ピクセル (5 3 2) |
上記の対称グループには、球上の整数解のみが含まれています。シュワルツ三角形のリストには有理数が含まれており、一様多面体の解のセット全体を決定します。
| ユークリッド平面 | 双曲線 | ||
|---|---|---|---|
| p4m | p3m | p6m | |
| *442 | *333 | *632 | *732 |
| 100ピクセル (4 4 2) |  (3 3 3) |  (6 3 2) |  (7 3 2) |
上のタイリングでは、各三角形は基本的なドメインであり、偶数反射と奇数反射で色付けされています。