メビウスの輪は、以下の図に示すように、非常に簡単に作成できるトポロジカルな好奇心です。
長い紙片を使用し、半回転ひねって両端を接着するだけです。次に、2 つの予期せぬ特性を持つ表面を発見します。この表面には、面とエッジが 1 つだけあります。数学では、方向付け不可能な曲面について話します。
リボンを長さ方向に半分に切ると、ねじれた単一のリングが得られますが、これには 2 つの異なる面と 2 つの異なるエッジがあります。
それを縦に切ると、ねじれたりねじったりして重なり合った 2 つの別個のリングが得られます。
この天体は、ドイツの数学者アウグスト フェルディナンド メビウスと同胞ヨハン ベネディクト リスティングによって 1858 年に同時に設計されましたが、共同作業はしていませんでした。
最初の名前は、パリ科学アカデミーに提出された論文のおかげで残りました。
特に翻訳では、メビウスまたはメビウスバンド、リング、ベルトという名前も見つかります。
メビウスの輪は、その特殊性により、哲学における議論も活発化します。この主題に関する推測は、有名な精神分析医ジャック・ラカンにインスピレーションを与えました。
空間内でストリップをねじることによる定義
 リボンの作り方 |  組み立ての図: 2 つの矢印を、方向を考慮して接着して戻します。 |
|---|
古典的なメビウスの輪
メビウスの帯は、中心が固定円を描く回転セグメントによって生成できます。対応する設定は
- $$ {\begin{cases}x=(2+t \cos v ) \cos 2v \\y= (2+t \cos v ) \sin 2v \\ z=t \sin v \end{cases} \qquad \begin{matrix} -1\leq t\leq 1\\ 0 < v \leq \pi\end{matrix}} $$
単独で変化する曲線v = v 0 , t は実際にはセグメントであり、点v = v 0 , t = – 1と点v = v 0 , t = 1 を等速度で接続します。したがって、このセグメントの長さは 2 になります。
曲線t = 0は、水平面内の半径 2 の円です。これはセグメントの中心の軌跡を表します。セグメントが水平方向となす角度はv 0です。中心が水平円上で完全に回転すると (変数vに π が加算されます)、セグメントは半分しか回転しません。これにより、たとえば点t = 1, v = πとt = – 1, v = 0が接続されます。
リボンのエッジは、曲線t = 1またはt = – 1によって与えられます。しかし、それは同じ曲線です。メビウスの輪の端は 1 つの (つながった) 部分になっています。
その他のねじりによる数値
古典的なリボンの変形は、紙片を順方向または逆方向に奇数回半回転させることによって得ることができます。以前の設定を調整するだけです。
- $$ {\begin{cases}x=(2+t \cos kv ) \cos 2v \\y= (2+t \cos kv ) \sin 2v \\ z=t \sin kv \end{cases} \qquad \begin{matrix} -1\leq t\leq 1\\ 0 < v \leq \pi\end{matrix}} $$
と
kと-kについて得られた数値は鏡像関係、つまり互いの鏡像です。
kの偶数値を受け入れると、多かれ少なかれねじれた両面リボンが得られます。
さまざまなリボンの比較
これらのリボンのエッジを形成する曲線に注目してください。 kの値ごとに異なる工夫が施されています。ねじれは、たとえば投影(上から見た図) で、曲線がその上を通過する回数をカウントすることによって計算されます。 3次元空間内で、ある種類のリボンを別の種類のリボンに連続的に (つまり、ホモトピーによって) 変形させることはできません。
ただし、さまざまなリボンは古典的なメビウスの輪と同型です。つまり、それらの間に本質的な違いはありません。これは、3 次元空間に没入する方法に関連しています。
半回転メビウスの帯もメビウス面の一部として見ることができます。
リボンの長さの計算
メビウスの輪は、たとえば 70 g の紙の厚さの柔軟なリボンで作成できます。突然折り曲げることなくリボンを得るには、リボンの幅が 1 の場合、長さは 1.732 (3 の平方根) より大きくなければなりません。螺旋反転を使用して結合するまで、長さを短くすることも可能です。正方形の辺ですが、折り目は急になります。
抽象的識別による定義
数学的には、リボンを集合の商集合として定義できます。
これにより、リボンをカットしたときに何が起こるかを数学的に確認できるようになります。
また、実際の射影面 (正反対の点を特定した後、球体として見られる) の開いた円盤の補体としてメビウスの帯を作成することもできます。
シンボリック
メビウスの輪の模式図は、1970 年の最初のアースデイ以来、リサイクル可能なもののロゴとして使用されています。メビウスの輪は、製品がリサイクル可能であること、またはリサイクルされた材料から作られていることを示します。実際には3回半巻いたリボンです。
芸術的翻案
- 映画
『メビウスの輪を抜けて』 、グローバル デジタル プロダクションズ (香港) のフランクフォスター監督による 80分のオールデジタル映画。この映画は 2005 年に米国で公開されました。
- シリーズ
この現象の特殊性は、『ユリシーズ 31』のエピソードでも使用されました。
メビウスは、スターゲイト SG-1のシーズン8 フィナーレのダブル エピソードの名前でもあります。
- ビデオゲーム
- メビウスはパイロットの「コードネーム」でもあり、ちなみにゲーム「エースコンバット 4: ディスタント サンダー」で操作するヒーローでもあります。正式なコードネームは「メビウス1」、記章はメビウスの輪。
- メビウスリングは、アーケードとゲームキューブでリリースされたゲームF-Zero AXおよびF-Zero GXの種族です。
- 小説
2010 年のオデッセイ 2では、 HAL 9000コンピューターの動作の異常は「ホフスタッター・メビウス ループ」と呼ばれています。
- 表現
リールのワゼンメス地区にある巨大なメビウスの輪が彫刻として表現されています。マルコ スリンカールトによって作成されたこの彫刻は、CPAM 前のロータリーの中央を占めています。見た目がよく似ているのでヘビとも呼ばれます。
オランダの彫刻家兼デザイナーであるマウリッツ コルネリス エッシャー (1898 ～ 1972 年) は、メビウスの輪について数多くの研究を行いました。
メビウスの輪の思考ツール
ジャック・ラカンの語彙では: 1962/63 – 不安 – 01/09/63 – 何が鏡面反射像をそれが表すものと区別するのでしょうか?それは、右が左になる、あるいはその逆になるということです。・片面は反転できません。 – したがって、メビウスの輪は、それ自体をオンにすると、常にそれ自体と同一になります。これを私は鏡面反射像を持たないと呼んでいます。