Dirichletユニット定理 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

代数数の理論では、ディリクレのユニット定理は、数字フィールドkの代数整数の数フィールドの単位のグループの構造を決定します。 Le groupe des unités désigne l’ ensemble des éléments inversibles d’un anneau commutatif unitaire.数値フィールドは、合理的な数値qの有限拡張です。つまり、 qのベクトル空間として、寸法のベクトル空間としての複雑な数値cのサブフィールドです。 Un entier algébrique du corps de nombres est un élément dont le polynôme minimal est à coefficients dans Z , l’anneau des nombres entiers.

Le théorème des unités stipule que le groupe des unités est isomorphe au produit d’un groupe cyclique fini et d’un groupe abélien libre de type fini. r ₁がrのフィールドkの視点形態の数をRの実数のフィールドとr ₂に指定した場合、セットCのフィールドkの共役液体形質症のペアの数、次に有限型の寸法is equal to r ₁ + r ₂ – 1. The cyclic group is a subgroup of the group of roots of unity.

定義と定理

L’expression du théorème des unités de Dirichlet utilise parfois la notion de place .一般的な場合:

ボディLのボディkの場所は、同じ値の段で無限の値∞のkのマップであり、加算と乗算を尊重します。 xがフィールドの要素である場合、 x +∞=∞を使用します。x.∞ =∞の場合、 xがフィールドの非ゼロ要素であり、∞ +∞=∞を持つ∞.∞=∞です。

KがQの有限拡張である場合、 Galois理論は、 kの値と同じようにkのkを持つKのkの場所がQの寸法と同じくらい多くの場所が存在することを示しています（記事Galois拡張を参照） 。場所がその画像としてRに含まれていないCのサブフィールドを持っている場合、共役マップと場所の構成も場所です。したがって、 R _1の場所を、複雑な値を持つ共役場所のR ₂ペアから実際の値のある場所を分離できます。さらに、 r ₁ + 2 r _1はqを超えるkの寸法に等しくなります。 Dirichlet’s Units定理は次のように表現されています。

数字のフィールドO kの輪の輪のユニットのグループE （ k）は、有限循環グループの直接産物と有限タイプの寸法r ₁ + r _2-1_の無料のアベリアのグループの直接的な積に同一型です。ここでR _1は実際の場所の数を指定し、 R _2は複雑な場所のペア数を指定します。

有限型と寸法nのアベルのグループは、 z ⁿに対して同型です。

デモンストレーション

装飾

それは、 O _Kの理想のクラスのグループの分析に類似しています。簡単に思い出しましょう。

Kの分解フィールドのガロアグループの要素（ Kを含む最小ガロア伸長）は、 _σ1 、…、 _σdと表されます。番号付けは次の順序に従います。2R2_がゼロ以外の虚数成分を持つ自動性の数を指定する場合、実際の自動化_は₁からR ₁の数字に番号が付けられます_{。 ₁ + r ₂ + n} 。

セットk _rは、ベクトル空間r ^{r ₁} x c ^{r ₂}とσを指定し、 q代数の次の形態を示します。

$$ {\Sigma : \quad \begin{align}\mathbb K \ & \longrightarrow \mathbb K_{\mathbb R} = \mathbb R^{r_1} \times \mathbb C^{r_2} \\ \alpha \ & \longrightarrow \Sigma(\alpha)= \big((\sigma_1(\alpha),\cdots ,\sigma_{r_1 + r_2}(\alpha)\big) \end{align}} $$

同様に、 k _rの関数n _rをrの値で定義します。

$$ {\mathcal N_{\mathbb R} : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R \\ x \ & \longrightarrow \mathcal N_{\mathbb R}(x)= |x_1|\cdot \; \cdots \; \cdot |x_{r_1}|\cdot |x_{r_1 +1}|^2\cdot \;\cdots \; \cdot |x_{r_1 + r_2}|^2 \end{align} \quad \text{avec}\quad x =(x_1,\cdots,x_{r_1 + r_2})} $$

n _r標準は、座標が複雑な場合、異なる絶対値またはモジュールの幾何平均に対応します。

n _kがkの要素αにqの相対的な要素を関連付ける関数を指定した場合、通勤図を取得します。

$$ {\begin{matrix} & \mathbb K & \Rightarrow{\Sigma} & \mathbb K_{\mathbb R} \\ \mathcal N_{\mathbb K /\mathbb Q} & \downarrow & & \downarrow & \mathcal N_{\mathbb R} \\ & \mathbb Q & \Rightarrow{|\cdot |} & \mathbb R \end{matrix} } $$

K _Rに次の規範を装備しています。

$$ {\|\cdot\| : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R_+ \\ x \ & \longrightarrow \|x\|= |x_1| + \cdots + |x_{r_1}| + 2|x_{r_1 +1}|+\cdots +2|x_{r_1 + r_2}| \end{align} } $$

E （ k ）に制限された形態の画像と核σ

同型は、アプリケーションによって与えられます。

$$ { Log : E(K) \rightarrow\mathbb{R}^r\times\mathbb{R}^s } $$

画像は、 k （ rの最初のコンポーネント）の実際の埋め込みと、共役複合体の埋め込み（最後のコンポーネント）の各ペアの代表者を選択することによってインデックス付けされます。

この証拠の考え方は、統一の根がこの形態の核心を形成し、イメージはミンコフスキーの定理を介して到着スペースのハイパープレーンのネットワークであることを示すことです。

r ₁とr ₂のこの特性評価は、複雑な数値の分野に含める（または埋め込む、したがって埋め込みという用語） nが存在するという事実に基づいています。

$$ {n = [K : Q]\,} $$

身体kの程度です。これらの埋め込みは、実数の本体に含まれるか、そうではありません。そして、この最後のタイプの埋め込みは、複雑な共役によってリンクされたペアで発生します。したがって、 n = r ₁ + 2 r ₂ 。

実際の二次フィールドの場合、ユニットのグループのランクは1（複雑な場合に0）です。実際の二次畑の単位理論は、本質的にペル・ファーマット方程式の理論です。以外の任意の数字フィールドの場合

$$ {\mathbb{Q}} $$

それ自体と想像上の二次体、ユニットグループのランクは> 0です。

単位のサイズは、レギュレータと呼ばれる特定の決定要因によって測定されます。さらに、ユニットのグループの自由部分の塩基の計算は効果的ですが、実際には、フィールドkの程度が増加するとすぐに計算の複雑さに反します（一般に、問題は100度以前に発生します）。

定理は、いくつかの軸の一般化を認めています。Sユニットのグループの研究、 Sの一連の主要な理想、つまり、すべての要因に応じた成分が特定の規定数を除いて、反転可能である要素。または、これらのユニットのグループでガロアのグループのアクションのためのキャラクター。

Dirichletユニット定理 – 定義

導入

定義と定理

デモンストレーション

装飾

E （ k ）に制限された形態の画像と核σ

参考資料

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