数学では、二次形式は任意の数の変数を含む 2 次の同次多項式です。たとえば、3 次元ユークリッド空間内の 2 点間の距離は、2 点のそれぞれの 3 つの座標である 6 つの変数を含む2 次形式の平方根を計算することによって取得されます。
1 つ、2 つ、および 3 つの変数の二次形式は次の式で与えられます。
- $$ {F(x) = ax^2\,} $$
- $$ {F(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,} $$
- $$ {F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,} $$
ベクトル空間上の二次形式
体F上のベクトル空間V を考えます。当面は、 F が2 とは異なる特性を持つと仮定します。これは、特に特性 0 を持つ実体および複素体の場合に当てはまります。特性が 2 の場合は、別個に扱われます。
Qアプリケーション:
- $$ {Q(u) = B(u,u)\,} $$$$ {\forall u \in V\,} $$
B は関連双線形形式と呼ばれます。どのベクトルについても注意してください
- $$ {Q(u + v) = Q(u) + 2B(u,v) + Q(v)\,} $$
したがって、 Qから双一次形式B を見つけることができます。
- $$ {B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) – Q(u) – Q(v)\right)} $$
これは代数形式の分極化の例です。したがって、 V上の二次形式とV上の対称双一次形式の間には 1 対 1 の対応関係が存在します。与えられた形状から他の形状を一意に定義できます。
Vがn次元の場合、双一次形式B をある基底を基準とした対称行列Bとして書くことができます。
- $$ {Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j} $$
または
二次形式のその他のプロパティ:
- $$ {Q(au) = a^2 Q(u)\,} $$$$ {\forall a \in F} $$そして$$ {u \in V} $$
- Q は平行四辺形の法則に従います。
- $$ {Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)\,} $$
- ベクトルuとv はBに直交します (ただし、
- $$ {Q(u+v) = Q(u) + Q(v)\,} $$
特徴 2 本体ケース
標数 2 の 2 次形式の理論は、主に 2 による除算が不可能なため、少し異なった趣があります。また、対称双一次形式Bの場合、すべての二次形式がQ ( u ) = B ( u , u ) の形式であるということももはや真実ではありません。さらに、 B が存在するとしても、それは一意ではありません。交互形式も標数 2 で対称であるため、任意の交互形式をBに追加して、同じ 2 次形式を得ることができます。
あらゆる特性に対して機能する二次形式のより一般的な定義は次のとおりです。物体F上のベクトル空間Vの二次形式は地図に似ています
- $$ {Q(au) = a^2 Q(u)\,} $$$$ {\forall a \in F} $$そして$$ {u \in V} $$、 そして
- $$ {Q(u+v) – Q(u) – Q(v)\,} $$はV上の双一次形式です。
一般化
二次形式の概念を可換リング上のモジュールに一般化できます。整数二次形式は数論とトポロジーにおいて重要です。
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