導入
数学では、群は単一の演算を含む集合で構成される代数構造です。この操作には優れた特性があり、結合的であり、中立要素があり、すべての要素が逆を許容します。有限群とは、要素の数が有限である群です。定義の単純さによって、グループの次数、つまり要素の数が増加すると、その複雑さが恐ろしいものになる可能性がある構造が隠されています。有限群の表現はそのような構造を研究するための方法です。それは、群をユークリッド空間の対称性の集合として研究することに相当します。たとえば、3 つの要素を含む集合の順列のグループは、中心が原点である正三角形を全体的に不変のままにする平面の線形適用のグループとして表されます。
表現は、既約表現と呼ばれる数が有限な単純な要素に分割されます。これらは、すべての表現の構築を可能にする基本的なブリックを表します。ユークリッド幾何学はこの世界において役割を果たします。あらゆる表現は、互いに直交する小さな空間に作用する既約表現に分解されます。特定の表現を研究する 1 つの方法は、線形マップ map を表す行列の対角係数の合計をグループの要素に関連付けるマップを考慮することです。このアプリケーションには名前があり、その表現の特徴について説明します。それは中心機能空間と呼ばれるユークリッド空間の一部でもあります。この空間の正規直交基底は既約表現の文字で構成されており、この基底内の任意の文字の座標を計算することで、単純な要素への分解を得ることができます。代数学ではよくあることですが、ベクトル空間で数値として虚数を使用すると研究が簡単になります。ここで問題となっているスカラー積は、複素数で定義されます。エルミート積やエルミート幾何学について話すこともあります。
歴史的に、この理論はガロア理論に由来する疑問に答えるために登場しました。多項方程式の解の研究は、ガロアと呼ばれる群の表現の研究につながります。 19世紀後半のドイツの数学者デデキントは、4 次方程式のガロア群を因数分解、つまり単純な要素に分解しようとしました。このタスクはそれほど単純ではありません。このようなグループは、576 個の係数ごとに 24 個の行列で表されます。そうすることができず、彼はフロベニウスに手紙を書きました。フロベニウスは、なぜこの微妙な質問に対する答えが文字であるのか、そしてその困難をどのように解決するのかをすぐに理解しました。フロベニウスは、これが群論の進歩の源である広大な理論への道を開く有益なアプローチであると感じています。
したがって、この理論は有限群の理論を解明するための強力なツールを提供し、たとえば、次数に従って群の可解な性質を決定することを可能にします。あまり逸話的ではありませんが、有限グループの表現は分類の基本ツールです。代数的な貢献はそれだけではありません。線形アプリケーションを合計すると、グループの画像によって生成されたベクトル空間を考慮すると、リングを定義することが可能になります。 Artin-Wederburn の定理で示されているように、有限群を表すツールは環の構造の研究に使用されます。最後に、フロベニウスの研究の原点であるガロア理論も無視されません。クラス場の理論、またはあまり完成されていないがラングランズ プログラムの理論を通じて、群の表現は現在の数学研究の中心となっています。
この理論に関連する純粋に数学的な知識は、有限群の表現に関する記事理論で扱われます。
