ベクトル空間の次元 – 定義

導入

線形代数では、ハメル次元、または単に次元は、物体K上の任意のベクトル空間Eに関連付けられた不変量です。 Eの次元は、そのすべての基底に共通の基数です。この数はdim _K ( E ) (「 K上のEの次元」と読みます) または

(スカラーKの本体について混乱がない場合) または[ E : K ]さえも。 E が有限の生成部分を認める場合、その次元は有限であり、 Eの基底を構成するベクトルの数に値します。

この定義は、一方では不完全基底定理の帰結である基底の存在に基づいており、他方では同じ空間の 2 つの基底が同じ基数を持つことを保証するベクトル空間の次元定理に基づいています。この次元は、ドイツの数学者ゲオルグ・ハーメルにちなんで名付けられることもあります。同型写像に至るまで、 Kベクトル空間はその次元によって分類されます。用語は狭いスペースに特有のものです。

• ヌル空間: ゼロ次元の空間E を指定します。ゼロベクトルを唯一の要素として認めます。空のファミリーは最大の自由ファミリーであり、 Eの一意の塩基であり、ベクトルを含みません。
• ベクトル線または直線: 次元 1 のベクトル空間Eを指定します。E のゼロ以外のベクトルはEの基底を形成します。
• ベクトル平面または平面: 次元2のベクトル空間Eを指定します。E の非共線ベクトルのペア( u 、 v ) はEの基底を形成します。

例

ベクトル空間の次元は、正規基底を選択することで計算できます。

• ベクトル空間として見られるフィールドKは、次元 1 を持ちます。任意の自然数n > 0 の場合、デカルト積K ^{n は、}スカラーのnタプルのベクトル空間です。これは次元nであり、その正準基底は正確にn 個のベクトルで構成されます。定義から、 K ⁿのすべての基底には正確にn 個のベクトルがあることがわかります。
• より一般的には、任意の集合Aについて、家族の集合をK ^{( A )}と表します。
  $$ {(\lambda_a)_{a\in A}} $$
  Aによってインデックス付けされ、有限のサポートを持つKの要素。項ごとに定義されるスカラーによる加算と乗算、 K ^{( A )}はK上のベクトル空間です。その正統な基盤は家族です
  $$ {(e_a)_{a\in A}} $$
  、 または
  $$ {e_b=\left(\delta_{ab}\right)_{a\in A}} $$
  のために
  $$ {b\in A} $$
  。したがって、 K ^{( A )}の次元はAの基数になります。
• フィールド内の係数を含む多項式
  $$ {\mathbb{K}} $$
  n以下の次数は、次元がn + 1であるK [X] のベクトル部分空間E を形成します。家族
  $$ {(1,X,\dots,X^n)} $$
  はEの正規の基礎です。
• フィールド内の係数を含むn行p列の行列のベクトル空間
  $$ {\mathbb{K}} $$
  、次元がある
  $$ {n\cdot p} $$
  。 i番目の行とj番目の列に 1 があり、その他の場所に 0 がある行列で構成されるファミリー( E _{i j} )が、このベクトル空間の基礎です。

スカラー本体の選択は重要です。

• 複素数のセットは、
  $$ {\mathbf R} $$
  -ベクトル空間と同様に
  $$ {\mathbf C} $$
  -ベクトル空間;我々は持っています
  $$ {{\rm dim}_{\mathbf{R}}(\mathbf{C})=2} $$
  そして
  $$ {{\rm dim}_{\mathbf{C}}(\mathbf{C})=1} $$
  。

一般化

ベクトル空間をmatroidの特殊なケースとして見ることができ、後者には明確に定義された次元の概念があります。モジュールの長さとアーベル群のランクの両方には、ベクトル空間の次元に似たいくつかの特性があります。

プロパティ

FがEのベクトル部分空間の場合、

。

2 つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すために、次の定理がよく使用されます。 Eが有限次元ベクトル空間で、 F がEのベクトル部分空間であり、 dim F = dim Eである場合、 E = Fになります。この含意は無限次元では偽になります。線形マップに関する次元に関する重要な結果は、ランク定理です。

分類

上の 2 つのベクトル空間

それらが同じ次元を持つ場合にのみ、有限次元で同型となります。

それらの基底間の全単射マップは、2 つのベクトル空間間の同型写像に一意に拡張できます。 Aが集合の場合、次元|のベクトル空間あ|の上

は次の方法で構築できます: セットを考慮しますすべての機能の Aの有限数の要素aに対してf ( a ) = 0となります。これらの関数は、次のスカラーで加算および乗算できます。 、そして、私たちは得ます -ベクトル空間を研究しました。

Kの修正

L / K をボディエクステンションとします。この場合、 L はK上のベクトル空間であり、ベクトルの合計は体 L 内の合計であり、スカラーによる乗算が制限となります。

K 上の L の次元は拡張指数と呼ばれます。この定義は、本文拡張の記事で取り上げられ、コメントされています。

さらに、乗算の制限により、すべてのLベクトル空間E はKベクトル空間でもあります。寸法は次の式で関連付けられます。

$$ {{\rm dim}_K(E)={\rm dim}_K(L)\cdot {\rm dim}_L(E)} $$

。

特に、次元nの複素ベクトル空間は次元2 nの実ベクトル空間です。

ディメンションとカーディナル

ベクトル空間K ^{( A )}の次元はAの基数です。この主張から、スカラー場Kの基数、ベクトル空間Eの基数、およびK上のその次元を結び付ける次の関係が導き出されます。

• dim _K Eが有限の場合、 | E | = | K |^サンE.
• dim _K Eが無限大の場合、 | E | = max(dim E , | K | ) 。

特に、 Kが有限でEが有限次元である場合、 Kベクトル空間E は有限です。

特に、有限体L は、その素体K上のベクトル空間として見ることができます。素体 K は、基数が素数pであり、 Lの特性と呼ばれます。 n がK上のLの次元である場合、 L は基数p ⁿのものになります。有限体の基数は、その特性の整数乗です。