分数 (数学)について詳しく解説

• 一番上の数字を分子と呼びます…. n
• 一番下の数字を分母と呼びます ….. d
• 分数線または棒は、分子を分母で割ることを意味します。

例：

3を7で割ることを意味します。私たちはこの分数を「 3 分の 7 」と発音します。そのため、3 は 3 つの単位 (7 分の 1) の数を示すため分子となり、7 は私たちが扱う単位 (7 分の 1)を表すため分母となります。パイの 3/7、分子 3 は私たちが食べるスライスの数を示し、7 はスライスの総数を示します。したがって、考慮される単位は…

という表記も時々見かけます。

n : d

あるいは

n ÷ d

分数バーをコロンに置き換えます(この表記は避けるべきです) 。コロン (:) は分数の結果が整数になることを意味し、:- は小数点になることを意味します

分数のモデリング

分数の処理ルールを理解して確立するには、2 つの異なる方法があります。 1 つ目は、 geometry を使用することです。分数は、幾何学的図形の面積の一部、または多角形(多くの場合三角形)の一辺の長さを表します。分数を支配する法則を実証することは、幾何学を行って面積や長さを測定することに似ています。このアプローチについては、 「幾何代数」の記事で説明されています。

もう 1 つのアプローチは、本質的に純粋に代数的なものです。有理数は、整数の同値クラスから抽象的に構築されます。整数からの加算と乗算は、すべての分数に自然な加算と乗算を備えた同値クラスと互換性があります。この構造により、分数の動作を支配する法則を確立することが可能になります。

ここで選択したアプローチは、最初に説明したものに対応しており、純粋に幾何学的なものです。使用されるメソッドは、整数の小数部に適用されます。幾何学は別の方法を提供し、結果を 2 つの正の実数の分数の場合に一般化することを可能にします。これについては、「幾何代数」の記事で説明されています。

分数を表す

ここでの目標は、分数 n/d を視覚化することです。

分数は図で表すことができます。多くの場合、いくつかの部分に分割された幾何学的形状。

n < dの分数

1° 分母d は、幾何学的形状で描画する等しい部分の数を示します。
2° 分子nは、使用される等しい部品の数を示します。
例 ：
幾何学的形状として長方形を選択し、分数³ ⁄ _{4 を}選択しましょう
分母が4なので長方形は4等分されます

分子は 3 なので、3 つの等しい部分のみが使用されます。

別の可能性:

n > dの分数

この分数は、 n / dの商 (単位数を表します) に、分子の割り算の余りと分母の d からなる分数が続いたものと等価になります。

例: 分数 7/3 の場合、整数除算では 2 が得られ、1 が残ります。

商は 2、つまり 2 単位、余りは 1、つまり 2 1/3 です。

このタイプの分数を 1 つの図で表すことは不可能であるため、いくつかの類似した幾何学的図形を使用します。

数量の一部を取得します

750 の² ⁄ _{3 を}取得するには、750 を 3 で割って、その結果に 2 を掛けます。

750÷3 = 250; 250 × 2 = 500。つまり、750 の ² ⁄ ₃ = 500

c から^a ⁄ _{b を}取得することは、c を b で割って、すべてに a を掛けることに似ています。もっと簡単に言えば、分数の計算ルールを知っていれば、c から^a ⁄ _{b を}引くことは、 ^a ⁄ _bに c を掛けることと同じになります。より一般的には、「de」が乗算に置き換えられていることがわかります。 cの75%を計算する場合も同様で、75%×cを計算すればよいのです。実際、75% は分数です: 75% = ⁷⁵ ⁄ ₁₀₀ = 0.75。

等価分数

分数の分子と分母に同じ数を乗算または除算すると、同等の分数が得られます。

例 ：

(2/3 に 2/2 を掛けました)

一般に、分数ⁿ ⁄ _dと^n’ ⁄ _d’は、n × d’ = d × n’ になるとすぐに等価になります。

例 ：

$$ {\frac{4}{6}=\frac{6}{9}} $$

なぜなら

$$ {6 \times 6 = 4 \times 9\,} $$

(これら 2 つの積は外積と呼ばれます)。

一部の分数は簡略化できます。つまり、 nとd を同じ数でできるだけ大きい数で割ることができます。この数は、 nとdの GCD (最大公約数) と呼ばれます。還元後、その分数は既約であると言われます。

分数間で特定の演算を実行するには、分数の分母がすべて等しい必要があります。これを行うには、すべての分母が同一であることを確認して、各分数を同等の分数に置き換える必要があります。この分母は、各分母で割り切れる最小の数になります。この数は、分母の LCM (最小公倍数) と呼ばれます。この操作は、同じ分母に減らすと呼ばれます
例 ：

分数の比較

• 同じ分子の場合、分母が小さいほど分数は大きくなります。

例 ：

$$ {\frac{2}{3} > \frac{2}{5}} $$

分子 2 はどの分数でも同じです。

分母を比較すると 3 < 5 になります。

• 同じ分母の場合、分子が大きいほど分数も大きくなります。

例 ：

$$ {\frac{2}{7} < \frac{5}{7}} $$

分母 7 は各分数で同じです。

分子を比較すると、2 < 5 になります。

• 分子と分母が異なる場合は、いつでも分数を同じ分母に換算して分子を比較できます。 1/4 と 2/5 の比較

1/4 = 5/20、2/5 = 8/20。または、5 < 8 したがって、5/20 < 8/20 したがって、1/4 < 2/5

注: 1/4 = 0.25 および 2/5 = 0.4、0.25 < 0.4、つまり¹ ⁄ ₄ < ² ⁄ ₅などの 10 進表記も使用できます。

小数表記、分数表記

どの分数も、n を d で割ることによって得られる有限または無制限の周期小数展開を持ちます。

1/4 = 0.25

2/3 = 0.6 66…(期間 6)

7/17 = 2.428571 428571…(期間 428571)

逆に、任意の10 進数または周期的な 10 進展開を伴う数値は、分数として書くことができます。

10進数の場合

小数点を除いた 10 進数を分子とし、分母として 10 ^{n を}取ります。n は小数点以下の桁数です。

$$ {0,256 = \frac{256}{1000}=\frac{32}{125}} $$

$$ {15,16 = \frac{1516}{100}=\frac{379}{25}} $$

無制限の小数展開の場合

まず、部分全体を削除します: 3, 45 45… = 3 + 0, 45 45…

単純周期10進展開の場合

単純な周期数は、小数点の直後から周期が始まる 10 進数です。
0.666 または 0.4545 または 0.108108
分子としては単純にピリオドを使用し、分母はピリオドを構成する桁と同じ数の 9 で構成されます。
例: 0.4545
期間 45、したがって分子 = 45
ピリオドは 2 桁で構成されるため、分母 = 99
分数 = 45/99 または 5/11 したがって: 3, 45 45… = 3 + 5/11 = 38/11

それ以外の場合: x を 0.4545454545 に設定しましょう…

100x=45.4545454545 したがって、99x=45 したがって、x = 45/99

混合周期10進展開の場合

混合周期 10 進数は、小数点の直後からピリオドが始まらない 10 進数です。
0.8333 または 0.14666
分数の分子を見つけるには、最初のピリオドに続く混合値から混合値を引きます。例: 0.36981981…
混合値: 36
混合値の後に最初のピリオドが続く: 36981
分子 = 36981 – 36 = 36945
分母に関しては、期間を構成する桁と同じ数の 9 で構成され、その後に混合値を構成する小数点以下の桁と同じ数の 0 が続きます。

例 1: 値 0.36981981 では、ピリオド 981 は 3 桁で構成されているため、混合値 36 は 2 桁で構成されているため、分母は 3 つの 9 とそれに続く 2 つのゼロで構成されます。最終的には次のようになります。
0.36981981 = 36945/99900 または 821/2220

例 2:

参考資料

1. Breuk (wiskunde) – afrikaans
2. كسر (رياضيات) – arabe
3. ভগ্নাংশ (গণিত) – assamais
4. Fraición – asturien
5. Pachjta – aymara
6. Kəsr – azerbaïdjanais