三角形を解く – 定義

幾何学では、三角形を解くことは、三角形のさまざまな要素 (辺の長さ、角度の測定値、面積) を他の要素から決定することで構成されます。歴史的には、三角形の解決が動機付けられていました。

• 地図作成において、三角測量によって距離を測定するため。
• ギリシア人の間でユークリッド幾何学が研究され、数多くの幾何学問題が解決されました。
• ナビゲーションでは、ポイント用に、地球座標と天文座標 (球面三角法) の計算を使用します。

今日、三角形の解像度は、三角測量(建築、地籍測量、両眼視) およびより一般的には三角法(天文学、地図作成) に関連する多数の問題で引き続き使用されています。

ユークリッド幾何学では、三角形の解決には少なくとも 1 つの辺を含む 3 つの要素のデータが必要十分であり、解決の 1 つのケースでは 2 つの解が許容されます。球面または双曲面の幾何学では、3 つの角度のデータでも十分です。この解決策には、三角法、特にアル・カシの定理、正弦の法則、接線の法則、角度の合計など、三角形における特定の古典的な関係が関係します。

歴史

書くこと。

ユークリッド幾何学における解決の事例

ユークリッド幾何学で三角形を解くには、三角形の要素間の特定の数の関係を使用します。最も頻繁に使用されるのは、

• アル・カシの定理。
• ヘロンの公式;
• 正弦の法則。
• 接線の法則。
• 三角形の角度の合計は πラジアンまたは 180°、

ただし、他の関係を使用して解決策に到達することも可能です。

以下に、3 つの角度と 3 つの辺のうち、既知の 3 つの要素に応じて異なるケースを示します。未知の辺や角度、および面積Sについては、解析公式が与えられます。これらは、そのままでは、「ヘアピン」三角形、つまり、辺の 1 つが他の辺に比べて小さい場合や、「ほぼ直角の」三角形では重大な誤差が生じるため、数値決定に適合させる必要があります。つまり、角度の 1 つは約 90°です。

三面

3 つの辺a 、 b 、 cが既知である三角形を考えます。角度は Al-Kash の定理から、面積は Héron の公式から推定されます。

• $$ {\alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)} $$
• $$ {\beta = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right)} $$
• $$ {\gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} $$
• $$ {S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} $$
  、 と
  $$ {p=\frac12(a+b+c)} $$

角度と隣接する 2 つの辺

角度γが既知の三角形と、隣接する 2 つの辺aおよびbを考えます。最後の辺は、Al-Kash の定理、接線の法則とπの補数による 2 つの不足角度、およびベクトル積公式による面積のおかげで得られます。

• $$ {c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}} $$
• $$ {\alpha = \frac\pi2 – \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)} $$
• $$ {\beta = \frac\pi2 – \frac\gamma2 – \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)} $$
• $$ {S = \frac12 ab\sin\gamma} $$

角度、反対側と隣接側

角度βが既知の三角形、およびこの角度の隣接する辺cと反対側の辺bを考えます。 2 番目の角度γはサインの法則によって得られ、最後の角度α はπの補数によって得られ、最後の辺はサインの法則によって得られます。

• $$ {\gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right)} $$
• $$ {\alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)} $$
• $$ {a = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta} $$
• $$ {S = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta} $$

βが鋭角でb < cの場合、 2 番目の解が存在します。

• $$ {\gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)} $$
• $$ {\alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)} $$
• $$ {a = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}} $$
• $$ {S = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta} $$

すべてのパラメータ値に対して解決が可能であるわけではなく、次の条件が満たされる必要があることに注意してください。

$$ {b width=} $$

c \sin\beta\,” >。

2つの角度と共通の側面

一辺cとその境界となる 2 つの角αとβが既知である三角形を考えます。最後の角度はπの補数によって得られ、他の 2 つの辺は正弦の法則によって得られます。

• $$ {a = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}} $$
• $$ {b = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)}} $$
• $$ {\gamma = \pi-\alpha-\beta\,} $$
• $$ {S = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}} $$

2 つの角度と非共通の側面

2 つの角度αとβが既知である三角形と、これら 2 つの角度に共通ではない辺aを考えます。最後の角度はπの補数によって得られ、他の 2 つの辺は正弦の法則によって得られます。

• $$ {b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}} $$
• $$ {c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}} $$
• $$ {\gamma = \pi-\alpha-\beta\,} $$
• $$ {S = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha}} $$

球面幾何学における解像度の例

球面幾何学 (非ユークリッド幾何学) での三角形の解き方は、ユークリッドの場合とは少し異なります。サインの法則では辺を明確に取得することはできず、正弦のみを取得できるからです。さらに、ユークリッド平面の三角形とは異なり、3 つの角度が既知の球面三角形は可溶であり、その解は一意です。

球面三角形を解くために使用される公式は次のとおりです。

• アル・カシの定理の一般化（角度と辺に関する変形）。
• ホイリエの定理。
• ネイピアの類推。
• 三角形の角度の合計はπに超過E (= S / R ²) を加えたものです。

三面

3 つの辺a 、 b 、 cが既知の三角形では、角度は Al-Kash の定理の一般化によって取得され、面積は l’Huilier の定理によって取得されます。

• $$ {\alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right)} $$
  、
• $$ {\beta = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}\right)} $$
  、
• $$ {\gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\right)} $$
  、
• $$ {E = 4\arctan\sqrt{\tan\left(\frac{p}2\right) \tan\left(\frac{p-a}2\right) \tan\left(\frac{p-b}2\right) \tan\left(\frac{p-c}2\right)}} $$
  または
  $$ {p = \frac12(a+b+c)} $$
  。

角度と隣接する 2 つの辺

2 つの辺aとbおよびそれらが形成する角度γが既知の三角形では、最後の辺は一般化された Al-Kash 定理によって取得され、残りの 2 つの角は Napier 類推によって取得されます。

• $$ {c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right)} $$
  、
• $$ {\alpha = \arctan\left\{\frac{2\sin a}{\tan(\gamma/2) \sin (b+a) + \cot(\gamma/2)\sin(b-a)}\right\}} $$
  、
• $$ {\beta = \arctan\left\{\frac{2\sin b}{\tan(\gamma/2) \sin (a+b) + \cot(\gamma/2)\sin(a-b) }\right\}} $$
  、
• $$ {E = \gamma + 2\arctan\left\{\cot\left(\frac\gamma2\right)\frac{\cos\left(\frac12(a-b)\right)}{\cos\left(\frac12(a+b)\right)}\right\} – \pi} $$
  。

角度、反対側と隣接側

角度β 、隣接する辺cおよび反対側の辺bが既知である三角形を考えます。角度γ は正弦の法則によって得られ、残りの要素はネイピアの類推によって得られます。解決策があるのは次の場合のみです

$$ {b width=} $$

\arcsin (\sin c\,\sin\beta)\,” >。

それで

• $$ {\gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)} $$
  、
• $$ {a = 2\arctan \left\{ \tan\left(\frac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\frac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\frac12(\beta-\gamma)\right)} \right\}} $$
  、
• 。
• $$ {E = \alpha+\beta+\gamma-\pi\,} $$

b > cでγが鋭い場合には、別の解が存在します。

• $$ {\gamma = \pi – \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)} $$
  、など。

2つの角度と共通の側面

2 つの角度αおよびβと、これらの角度に共通する辺cが既知の三角形では、最後の角度は al-Kash の公式によって取得され、最後の 2 つの辺は Napier の類推によって取得されます。欠落している角度と辺の式は、相補解像度の場合 (角度と隣接する 2 つの辺が既知である) の式に似ています。

• $$ {\gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta)\,} $$
  、
• $$ {a = \arctan\left\{\frac{2\sin\alpha}{\cot(c/2) \sin(\beta+\alpha) + \tan(c/2) \sin(\beta-\alpha)}\right\}} $$
  、
• $$ {b = \arctan\left\{\frac{2\sin\beta} {\cot(c/2) \sin(\alpha+\beta) + \tan(c/2)\sin(\alpha-\beta)}\right\}} $$
  、
• $$ {E = \alpha + \beta + \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c-\cos\alpha\cos\beta) – \pi\,} $$
  。

2 つの角度と非共通の側面

2 つの角度αとβが既知である三角形と、これらの角度の 1 つと反対側の辺aを考えます。 b面は正弦の法則によって求められ、残りの要素はネイピアの類推によって求められます。以下の方程式と相補解像度 (角度、反対側と隣接側) の場合の類似点に注目してください。

• $$ {b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right)} $$
  、
• $$ {c = 2\arctan \left\{ \tan\left(\frac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\frac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right\}} $$
  、
• $$ {\gamma = 2\arccot \left\{\tan\left(\frac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\frac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right\}} $$
  、
• $$ {E = \alpha+\beta+\gamma-\pi\,} $$
  。

aが急性でα > βの場合、別の解決策があります。

• $$ {b = \pi – \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right)} $$
  、など。

3つの角度

3 つの角度が既知の場合、辺は角度に関する Al-Kash の定理の変形によって取得されます。辺を与える式は、相補解像度 (既知の 3 つの辺) の場合と似ています。

• 、
• $$ {b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right)} $$
  、
• $$ {c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right)} $$
  。
• $$ {E=\alpha+\beta+\gamma-\pi\,} $$

応用例

三角測量

詳細な記事「三角測量」を参照してください。

イチジク。 1 — 三角測量による船の距離の決定

反対側の図 1 は、三角測量によってボートの距離を決定する方法を示しています。距離lが既知の 2 点から、その方向、コンパスを使用した方位角、またはボートを結ぶ線との角度αとβ を測定します。 2点。測定が完了したら、既知の要素を適切なスケールでグラフ上にプロットすることで、距離をグラフで推定することができます。 2 つの角度と共通の辺がわかっている三角形を解くことによっても、解析公式を見つけることができます。

$$ {d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\,l} $$

。

沿岸航行ではその変形が使用され、船から見たランドマーク (陸上の基準点) の方位角を使用して角度が推定されます。

イチジク。 2 — 三角測量による山の高さの決定

別の可能性は、既知の距離lの 2 点での角高さαおよびβ を測定することによって、谷からの丘または山の高さhを測定することです。反対側の図 2 は、測定点と地面上の頂点の投影が位置合わせされている単純化されたケースを示しています。山の高さは、三角形を解くことによって、グラフィックまたは分析的に決定できます (上記と同じ場合)。

$$ {h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \,l} $$

。

実際には、この解決方法にはいくつかの問題があります。地形は必ずしも平坦ではないため、2 点間の傾斜を推定する必要があります。実際の頂上は必ずしも平地から観測できるわけではなく、観測される最高点は接線効果によって 2 つの観測点の間で位置が異なります。起伏のさまざまな要素を海岸から段階的に三角測量する必要があるため、測定誤差が蓄積されます。したがって、衛星地図作成により、特定のピークの従来の推定値が数メートル変更されました。 ^[参照。これらの困難にも^かかわらず、 19^世紀にフリードリヒ ゲオルク ヴィルヘルム フォン シュトルーヴェは、ノルウェーから黒海まで 2800 km にわたってヨーロッパを横切る一連の測地線マーカーであるシュトルーヴェ測地弧を建設させました。その目的は、地球のサイズと形状を測定することでした。地球: 1853 年、科学者は地球の子午線の距離が 188 m (2×10 ^-5 ) 以内で、地球の平坦度が 1% 以内であることを測定しました。 ^{[ 1 ]}

地球上の 2 点間の距離

地球上の 2 つの点 A と B をそれぞれ緯度λ _Aとλ _B 、経度L _AとL _Bとして考えます。それらの距離を決定するために、三角形 ABC を考慮します。ここで、C は北極です。この三角形では次のことが知られています。

• $$ {a = 90^\mathrm{o} – \lambda_\mathrm{B}\,} $$
• $$ {b = 90^\mathrm{o} – \lambda_\mathrm{A}\,} $$
• $$ {\gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\,} $$

角度と隣接する 2 つの辺がわかっている場合に三角形を解くと、次の結論が得られます。

$$ {\mathrm{AB} = R \arccos\left\{\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right\}} $$

、

ここで、 R は地球の半径です。計算機が三角関数の度を受け入れない限り、数値アプリケーションでは座標をラジアンに変換する必要があることに注意してください。