シュレディンガー方程式について詳しく解説

導入

シュレーディンガー方程式は、1925 年にオーストリアの物理学者エルヴィン シュレーディンガーによって設計され、非相対論的量子物理学の基本方程式です。これは、巨大な非相対論的粒子の時間の経過に伴う進化を記述し、したがって古典力学における力学の基本的な関係と同じ役割を果たします。

方程式の誕生

歴史的背景

20^世紀の初めに、光には波動粒子の二重性があることが明らかになりました。つまり、光は状況に応じて、粒子、光子、または電磁波として現れる可能性があります。ルイ・ド・ブロイは、この二重性をすべての既知の粒子に一般化することを提案しましたが、この仮説は光のような電子による干渉の生成という逆説的な結果をもたらしましたが、これは後にデイヴィッソンの実験「発芽」によって検証されました。光子との類推により、ルイ・ド・ブロイはエネルギーEと運動量pの各自由粒子と周波数νと波長λを関連付けました。

$$ {\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right.} $$

。

1925 年に物理学者エルヴィン シュレーディンガーによって発見されたシュレーディンガー方程式は、位置エネルギーに由来する力を受ける巨大な非相対論的粒子に対する上記のド ブロイのアプローチを一般化した波動関数です。その総力学的エネルギーは古典的に次のようになります。

$$ { E = {p^2\over 2m}+ V(r)} $$

。

対応原理の使用によるこの拡張から推定される方程式の成功は、水素原子内の電子の定量化されたエネルギー準位の評価に関して即座に成功しました。なぜなら、それによって水素輝線を説明することが可能になったからです。: Lyman 、バルマー、ブラケット、パッシェンシリーズなど。

シュレディンガー波動関数の正しい物理的解釈は、1926 年にマックス ボルンによって与えられました。シュレーディンガーの波力学は、それが導入した確率論的な性質のため、当初、「神はサイコロを振らない」としてアルバート・アインシュタインなどの一部の著名な物理学者の間で不信感を引き起こしました。

歴史的な由来

シュレーディンガーが方程式を導き出すために使用した概念スキームは、光学と力学の間の形式的な類似性に基づいています。

• 波動光学では、波長スケール上でゆっくりと変化する実屈折率nの透明媒体内の伝播方程式は、振幅が位相の前で非常にゆっくりと変化する単色解を求めると、エイコナーレと呼ばれる近似方程式に導きます。これは、フェルマーの変分原理に関連する幾何光学の近似です。

• 古典力学のハミルトニアン定式化には、いわゆるハミルトン・ヤコビ方程式が存在します。位置エネルギーに由来する力を受ける非相対論的質量粒子の場合、総力学的エネルギーは一定であり、「ハミルトン特性関数」のハミルトン・ヤコビ方程式は形式的にはエイコナール方程式に似ています（関連する変分原理は次のようになります）最小作用の原則。）

この類似点は 1834 年にはハミルトンによって指摘されていましたが、当時彼には古典力学の正当性を疑う理由はありませんでした。 1923 年のド・ブロイの仮説の後、シュレーディンガーはこう言いました。エイコナーレの方程式は波動光学の波動方程式の近似である、近似がハミルトンである「力学の波動」(これから構築される) の波動方程式を探しましょう-ヤコビ方程式。彼がやったことは、まず定在波( E = cte) に対して、次に任意の波に対してです。

注: シュレーディンガーは実際、彼の以前のド・ブロイのように、相対論的粒子の場合を扱うことから始めていました。その後、彼は今日クライン・ゴードンとして知られる方程式を取得しましたが、それをクーロンポテンシャルの場合に適用すると、水素原子の実験結果と矛盾するエネルギー準位が得られ、成功した場合には非相対論的な場合に戻ってしまうでしょう。私たちが知っていること。