内積 – 定義

ベクトル幾何学では、スカラー積はベクトル空間の構造を定義する法則に追加される代数演算です。 2 つのベクトルをその積である数値 (またはスカラー) に関連付けます。これにより、伝統的なユークリッド幾何学の概念、つまり 2 次元と 3次元の長さ、角度、直交性を再発見できるようになりますが、それらを任意の次元の実ベクトル空間、場合によっては複素ベクトル空間に拡張することもできます。

これは、たとえば、スカラー積を使用して多項式の空間を提供すると、2 つの多項式間の距離または角度について話すことができる方法です。

ただし、同じベクトル空間に多数の異なるスカラー積が提供される可能性があり、角度、距離、直交性の非等価な結果が得られます。問題、特に機能解析の問題に適応したスカラー積の選択が、問題解決の鍵となる可能性があります。

歴史の断片

しかし、ユークリッド幾何学における計算の重要な要素であるスカラー積は、数学の歴史のかなり後期に登場しました。 1843 年にハミルトンが四元数の本体を作成したときに、その痕跡が見つかります。次に、ペアノはそれを面積または行列式の計算に関連付けて定義します。 Roberto Marcolongo と Cesare Burali-Forti は、角度の余弦のみを使用してこれを定義し、内積またはスカラー積という名前を付けました。続いて登場するのはこの形です。対称双線形形式としての性質は線形代数で利用され、その特性として定義になります。

ドットまたは内積のクロス記法は、1880 年代にジョサイア ウィラード ギブスに由来します。

スカラー積は、物理学で力の仕事を計算したり、初等幾何学で角度や距離に関する特性を実証したり、線形代数でベクトル空間に距離を提供したりするのに非常に役立つことがわかりました。

初等ユークリッド幾何学における 2 つのベクトルの内積

三角法

初等ユークリッド幾何学では、ベクトルのスカラー積

そしてによって定義される実数です

$$ {\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times cos(\widehat{BAC})} $$

(AB と AC がゼロ以外の場合) または 0 (それ以外の場合)

この形式はベクトルの順序とは無関係であり、対称であると言えます。

これはベクトルが直交する場合にのみ消滅するため、直交性制御の強力なツールであることがわかります。

これは、次の関係によって距離に関連付けられます。

$$ {\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AB} = AB^2} $$

この式は、ベクトルが次の場合にのみ常に正でゼロになります。

はゼロです。私たちはこの形を明確で肯定的なものだと言います。

予測される

点 A と B が異なる場合、直角三角形の三角法により、正射影を使用してスカラー積を計算できます。H が (AB) への C の正射影である場合、スカラー積は次のようになります。

$$ {\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB \times AH} $$

(Aが[BH]に属さない場合)または

$$ {\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = -AB \times AH} $$

（さもないと）

AC × cos(BAC) = AH の場合

AC × cos(BAC) = – AH の場合

スカラー積は、変位中の力の仕事にこの形式で使用されます。 力の仕事

ルートによっては東 。イラストでは本作品は ・AB×AH となっております。

直交投影は線形マップであるため、スカラー積が 2 番目のベクトルに従って線形であることを証明できるのもこの形式です。

もし

$$ {\overrightarrow{AC’} = k\overrightarrow{AC}} $$

それで

$$ {\overrightarrow{AH’} = k\overrightarrow{AH}} $$

もし

$$ {\overrightarrow{AC”} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC’}} $$

それで

$$ {\overrightarrow{AH”} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AH’}} $$

これらの特性は、点 A と B が混同されている場合に一般化されます。形状は対称であり、最初のベクトルに従って直線的でもあります。スカラー積は、古典的な積 (可換性、分配性) とほぼ同じように動作するため、顕著な恒等式などの公式を作成することが可能になります。ただし、2 つのベクトルを使用すると、ベクトルではなく実数が関連付けられるため、これは古典的な製品ではないことに注意する必要があります。

距離

注目すべき恒等性により、次の公式を確立することができます。

$$ {\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}} $$

これを行うには、開発するだけで十分です

。次に、アル・カシ定理を見つけます。

連絡先の詳細

正規直交参照系では、スカラー積は次のように表されます。

そして

$$ {\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} = xx’ + yy’ +zz’} $$

これを行うには、 A B ² = x ² + y ² ( + z ² ) 、 A C ² = x ‘ ² + y ‘ ² ( + z ‘ ² )およびB C ² = ( x − x ‘) ² + ( y − y ‘) ² + ( z − z ‘) ²

この形式を使用すると、2 つのベクトルが直交しているかどうかを非常に迅速に判断できます。

注: この式は、定義に反して、非正規直交基底では有効ではありません。

内積のような領域

ペアノに従って、スカラー積を領域として見ることができます。平面をxからyに向けると、ベクトルxとyのスカラー積は、ベクトルyとx _{r を}使用して構築された平行四辺形の配向面積に等しくなります。ベクトルx _{r は}、ベクトルxを直接直角回転させたイメージです。したがって、スカラー積は行列式を使用して計算できます。

xy =det( _yxr )。

この形式では、スカラー積の対称性と双線形性のすべての特性を見つけることができます。

図では、平行四辺形がせん断特性により同じ面積の長方形に変形されています。緑色の領域は正の内積に対応し、ピンク色の領域は負の内積に対応します。

貸借対照表

上記で定義されたプロパティにより、スカラー積は正定対称双一次形式になります。その後、これらのプロパティがベクトル空間内のスカラー積を特徴付けることになります。

一般的な定義

表記法: 2 つの表記法がドット積を表すために競合します。単純な垂直バー (

)、または単純な点 ( ）。量子力学に触発された表記法も見つかります。 >と<, > 。この記事の残りの部分では、単純な垂直バーを使用します。

実ベクトル空間の内積

どちらか

実ベクトル空間。

写像φ を次のように言います。

$$ {(x,y) \mapsto (x|y)} $$

次の場合、それはスカラー積です。

• bilinear : φ は各引数に対して線形です (他方は固定です)。
• 対称:
  $$ {\forall x,y \in \mathbf{E} \quad (y|x) = (x|y)} $$
• 厳密にポジティブ：
  $$ {\forall x \in \mathbf{E}\setminus\{0\} \quad (x|x) width=} $$
  0″ >

厳密に正の代わりに「正定」と言うことができますが、「定義された」という単語を単独で使用することはお勧めできません。非縮退双線形形式の概念と異方性双線形形式の概念という 2 つの概念の間で混乱が生じるからです。

2 つのベクトルの内積の表記

幾何学における 2 つのベクトルのスカラー積

そして注目される 。この式には、等価性をチェックできるという利点があります。 。ただし、この表記法は乗算に非常に似ているため、欠点が多すぎます。したがって、代数学では、2 つのベクトルxとyのスカラー積が注目されます。 。この表記法は、ドット積の双一次性とより互換性があります。

複素ベクトル空間の内積

この定義を複素ベクトル空間に適用するには、 「半線形性」の概念が必要です。

複素ベクトル空間の写像f

で以下が検証される場合、それは半線形と呼ばれます。

• $$ {\forall x,y \in \mathbf{E} \quad f(x+y) = f(x) + f(y)} $$
  
  
• $$ {\forall x \in \mathbf{E}, \forall\lambda \in \mathbb{C} \quad f(\lambda x) = \overline{\lambda}f(x)} $$

それで今

複素ベクトル空間。

写像φ を次のように言います。

$$ {\mathbf{E} \times \mathbf{E} \to \mathbb{C}} $$

$$ {(x,y) \mapsto (x|y)} $$

次の場合、エルミートドット積(または単にドット積) になります。

• セスクリニア: つまり
  

• 2 番目の引数に対して線形 (最初の引数は固定)
  
• 最初の引数に対して半線形 (2 番目の引数は固定)

• エルミート対称:
  $$ {\forall x,y \in \mathbf{E} \quad (y|x) = \overline{(x|y)}} $$
• 厳密にポジティブ：
  $$ {\forall x \in \mathbf{E}\setminus\{0\} \quad (x|x) width=} $$
  0″ >

厳密に正ではなく、「正定」と言うことができます。

注: 右側の線形性、左側の半線形性の規則は普遍的ではありません。一部の著者は逆の規則を使用しています。

例

• 宇宙で
  $$ {\R ^n} $$
  で、正準スカラー積を定義します。
  $$ {\big( (x_1,…,x_n) | (y_1,…,y_n)\big) = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n} $$
  。

• 宇宙で
  $$ {\mathbb C^n} $$
  で、正準スカラー積を定義します。
  $$ {\big( (z_1,…,z_n) | (w_1,…,w_n)\big) = \bar{z_1}w_1 + \cdots + \bar{z_n}w_n} $$
  。

• どちらか
  $$ {\ E} $$
  ザ
  $$ {\R -ev} $$
  区間の連続関数
  $$ {[a,\, b]} $$
  で
  $$ {\R} $$
  。

アプリ

$$ {\phi : E \times E \to \R , (f,\,g) \mapsto \int_{a}^{b} f.g\} $$

はEの内積です。

• どちらか
  $$ {E=C([a,\, b],\mathbb{C})} $$
  ザ
  $$ {\mathbb{C} -ev} $$
  区間の連続関数
  $$ {[a,\, b]} $$
  で
  $$ {\mathbb{C}} $$
  、

アプリケーション:

$$ {\phi : E \times E \rightarrow \mathbb{C} , (f, g) \mapsto (f|g) = \int_{a}^{b} \bar{f}.g\} $$

のスカラー積です

$$ {\ E} $$

。

注: 連続関数を扱う代わりに区分的連続関数を扱う場合、構築された双一次形式は確かに正ですが、正定値ではありません: (f|f) = 0 は、有限数の点を除いてf がゼロであることを意味します。 。

• どちらか
  $$ {E = M_{n}(\R)} $$
  ザ
  $$ {\R -ev} $$
  係数を持つ正方行列
  $$ {\R} $$
  。

アプリケーション:

$$ {\phi : E \times E \to \R , (A,\, B) \mapsto (A|B) = Tr(A^{t}B)} $$

はスカラー積 ( canonicalと呼ばれます) です。

備考：

もし

$$ {S,\, A} $$

の 2 つの要素です

$$ {\ E = M_{n}(\R)} $$

、それぞれ対称、反対称、そして

$$ {\ (S|A) = 0} $$

もし

$$ {A \in O_{n}(\R )} $$

、その後、 ( A | A ) = T r ( ^t A A ) = T r ( I _n ) = n

直接的な性質と規範

ベクトルxのノルム (「ユークリッド」と呼ばれる) を導入します。

$$ {\left| \left| x \right| \right|_2 = \sqrt{(x|x)}} $$

、または単に

$$ {\left| \left| x \right| \right|} $$

曖昧さがなければ。

それが実際に標準であることを証明するのは簡単です

実数または複素ベクトル空間上のドット積は、次の 2 つの基本的な不等式を満たします。

• コーシー・シュワルツの不等式:

$$ {\forall x,y \in \mathbf{E} \quad |(x|y)| \leq ||x||\,||y||} $$

• ミンコフスキーの不等式

$$ {||x+y|| \leq \ ||x|| + ||y||} $$

コーシー・シュワルツの不等式とミンコフスキーの不等式の記事では、等式の場合について説明しています。

実ベクトル空間の場合の直交度と角度

( x | y ) = 0の場合、ベクトルxとy は直交すると言います。記事の「直交性」では、この概念に付随する定義と特性の展開、つまり直交ファミリとパーツ、ピタゴラスの定理について説明します。 「直交投影」も参照してください。

2 つの非ゼロベクトルxとyの間の角度θ は、それらのスカラー積から次の式で定義できます。

$$ {(x|y) = ||x||\cdot||y||\cdot\cos \theta} $$

実際、コーシー・シュワルツの不等式は次のように書かれます。

それで、もし

我々は持っています：

つまり

したがって、次のように尋ねることができます。

注意してください:これは方向性のない角度です。有向角の概念を定義する方法を知ることができるのは、有向ユークリッド平面においてのみです。

内積によって誘起される構造

• 前ヒルベルト空間(実数または複素数) は、スカラー積が与えられる、有限次元かどうかに関係なく、任意のベクトル空間と呼ばれます。
• 私たちは、（正規化された空間としての）完全な事前ヒルベルト空間をヒルベルト空間（実数または複素数）と呼びます。
• スカラー積で与えられる有限次元の実ベクトル空間 をユークリッド空間と呼びます。
• スカラー積で与えられる有限次元の複素ベクトル空間を エルミート空間と呼びます。

私たちは、有限次元の標準化ベクトル空間 (実数または複素数) が完全であることを知っています。したがって、ユークリッド空間とエルミート空間はヒルベルト空間 (それぞれ実数、複素数) です。