物理学では、物体の体積は、平面内の図形の面積が両方向の「広がり」を測定するのと同じように、同時に 3 方向の「空間の広がり」を測定します。同時に。
体積は国際システムでは立方メートルで測定されます。特に液体の場合、リットルを頻繁に使用します。
したがって、体積を広範な量と見なし、それに関連する熱力学的集約量が圧力です。
数学では、空間の一部の体積がその尺度になります。単純な固体 (平行六面体や回転物体) の場合は、その固有の寸法に従って体積を決定できる数式があります。ユークリッド幾何学では、3 つの非共面ベクトルによって生成される平行六面体の体積
体積単位
国際的な体積単位は立方メートル (m3) とその派生単位 (dm3、cm3、mm3) です。しかし、特にアングロサクソン諸国では他の体積単位が存続しています (単位の変換を参照)。
液体材料の体積には、多くの場合、独自の単位 (リットル、パイント、バレル) があります。メートル法が確立されたことにより、古い制度では 20 以上あった体積単位の数が大幅に簡素化されました (アンシャン レジームの測定単位を参照)。
圧力や温度に関係なく、特定の体積に含まれる物質の量(分子の数) を知りたい気体の場合、2 つの補正定義が存在します。
- m 3 (n) で表されるいわゆる標準立方メートル。1013.25 hPa (通常の大気の圧力または 1 atm) の圧力と 0°C の温度下に置かれたガスの体積に相当します。
- m 3 (s) で表されるいわゆる標準立方メートル。1013.25 hPa (通常の大気の圧力または 1 atm) の圧力と 15°C の温度下に置かれたガスの体積に相当します。
上記のボリュームは、いわゆる補正ボリュームに相当します。これらの補正を考慮しないボリュームは、グロスであると言われます。ガスの流量 (流量を参照) と発熱量を計算する際に、これらの体積に遭遇します。
欧州連合では、消費者製品の多くの体積 (および質量) が推定数量として表示されます。これらには、小文字の「e」が付けられてマークされています。
数学では、体積の単位は式には現れません。これは単位立方体の体積によって暗黙的に与えられます。たとえば、スケール上の理由から、単位立方体の辺が 2 cm の場合、体積 X (単位立方体) は 8X cm3 に相当します。
いくつかの公式
以下に注意していきます
プラトン立体
正多面体はこれら 5 つだけです。多面体のエッジが
- 四面体の場合: $$ {V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3} $$
- キューブの場合: $$ {V = a^3\,} $$
- 八面体の場合: $$ {V = \frac 13 \sqrt 2 a^3} $$
- 十二面体の場合: $$ {V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3} $$
- 正二十面体の場合: $$ {V = \frac 56\varphi^2a^3} $$または$$ {\varphi} $$は黄金の数字です
プリズムとシリンダー
一般的な公式は常に次のとおりです: ベースの面積 × 高さ
- 右プリズム: $$ {V =B \times H} $$
- 直方体または舗装された直方体: $$ {V = L \times l \times H} $$
- 回転円柱: V = π R 2 H
ピラミッドと円錐形
一般的な式は常に次のとおりです。
- 革命円錐: $$ {V = \frac{\pi}{3}R^2H} $$
- 底面に平行な平面で切り取られた円錐 (または角錐): $$ {V={H\over3} (B+b+\sqrt{Bb})} $$
ボール
- 球体: $$ {V = {4 \over 3} \pi R^3} $$または$$ {V = \pi {D^3 \over 6}} $$
- 球形キャップ: $$ {V = \frac{\pi}{3}H^2(3R-H)} $$ここで、 Rはボールの半径、 H はキャップの高さです。
- 円柱が貫通した球体(ナプキン リング): $$ {V = \frac{\pi}{6} H^3} $$
- 球面 (頂点 O の円錐と中心 O の球との交点): $$ {V = \frac 23 \pi R^2H} $$ここで、 Hはキャップの高さ、 R はボールの半径です。
革命の固体
グルディンの定理(またはパップスの法則) を使用すると、中心がわかっている限り、その平面内に位置し、その平面と交差しない軸の周りの表面要素 S平面の回転によって生成される回転体の体積を計算できます。表面要素 S の重力G。
- $$ {V = 2\pi R\cdot S} $$ここで、 R は点Gから回転軸までの距離です。
この式により、次の体積を決定することができます。
- トーラス: V = 2π 2 R r 2ここで、 r は軸(Δ)の周りを回転する中心Gを持つ円の半径、 R はGから(Δ)までの距離です。
- バレル: ケプラーはバレルの体積の近似式を与えます。これは、バレルが球、ピラミッド、シート付き双曲面、楕円放物面、回転楕円体によって生成される場合に正確であることがわかります。 B 1とB 2 がベースの表面、 B 3 が中間の高さのセクションの表面である場合、
- $$ {V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)} $$
その他
- 右円錐体(切歯の例): $$ {V = \frac 12 \pi R^2H} $$ここで、 Rは基礎円の半径、 H は円錐の高さです。
- インゴット（平行な２つの長方形の底面と４つの台形の側面からなる六面体）。ケプラーの公式が見つかります。 $$ {V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)} $$ここで、 B 1とB 2 は2 つの長方形の底面の面積、 B 3 は中央の高さの断面の面積です。
体積と積分の計算
もし
- $$ {V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y} $$
ドメインが
- $$ {V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x} $$
もし
- $$ {V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z} $$
ドメインが
- $$ {V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z} $$
積分の線形性により、定義が難しいドメインを、単純な条件下で表現可能な複数のサブドメインに分割できます。
ドメインの場合
- $$ {V = \iiint _{\mathcal A’} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz} $$または$$ {\mathcal A’} $$の境界部分です$$ {\R_+\times [0,2\pi] \times \R} $$
ドメインの場合
- $$ {V = \iiint _{\mathcal A”} r^2\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi} $$または$$ {\mathcal A”} $$の境界部分です$$ {\R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi]} $$。
ドメインが
- $$ {V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x} $$
最後に、Green-Ostrogradsky 定理により、体積計算を表面積分に減らすことができます。
- $$ {V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S} $$
または