不条理(ラテン語のreductio ad absurdumに由来) またはアパゴジー(古代ギリシャ語のapagôgêに由来) による推論は、論理的、哲学的、科学的推論の形式であり、相補的な命題の不条理を証明することによって命題の真実性を証明すること (または、 「反対に」）、または不条理な結果を論理的に演繹することによって別の命題の誤りを示すこと。
ポジティブアパゴジー
私たちは、結論が命題の真実性を肯定するとき、物事の性質そのものから引き出された論証によって直接それを確立するのではなく、反対の命題が不条理であることを示すことによって間接的に証明するとき、単純な不条理による肯定的な同化ジーまたは論証について話します。私たちは、一方の虚偽からもう一方の真実へと結論を導き出します。
たとえば、スピノザは不条理を通じて「物質の生産は絶対に不可能なことである」ことを証明している（倫理学I、命題VI、帰結）。実際、物質が生成される場合、この物質の知識はその原因の知識に依存する必要があり（結果の知識は原因の知識を前提としている）、したがって、それはもはや物質ではなくなります。それ自体であり、それ自体で考えられるもの。
この推論方法の制限
この推論は、矛盾する命題が 2 つしか考えられず、一方が真であれば一方が必ず偽となり、その逆の場合にのみ正当となります。そうしないと、誤ったジレンマに基づいた詭弁に堕してしまいます。そうでない場合、他のすべての代替テーゼの誤りを実際に証明しなければなりません。A、B、または C が可能な仮説とみなされるかどうかに関係なく、B と C が誤りであることを証明し、したがって A が真であることを証明します (これは古典的に選言的とも呼ばれるものです)推論 ( modus tollendo-ponens )。
認識論的な観点から見ると、この証明は常に直接論証より劣っています。なぜなら、それが心を束縛するとしても、それは心を啓発せず、直接証明や直示と同様に、物事の理由を与えないからです。したがって、他の方法ができない場合にのみこの言葉を使用することが望ましいです。たとえば、議論の中で、直接の証明を拒否したり原則を否定したりする矛盾者を相手にしている場合です。これは、懐疑論などの特定の教義に対する反論の場合に当てはまります。
数学への応用
不可能による証明は、別の証明の影響を受けにくい特定の定理を証明するために数学で使用されますが、これは弁護的証明に分類されます。排中原理を拒否する直観主義者と呼ばれる一部の数学者はそれを認めていない。
命題p を証明しなければならないと仮定しましょう。このアプローチは、仮説がp ではない(つまり、 pが偽である) と論理矛盾が生じることを示すことから構成されます。したがって、 p はfalse であってはならず、fortiori は true でなければなりません。
簡単な例を挙げて、「厳密に 0 より大きい最小の有理数は存在しない」という命題を考えてみましょう。不条理を推論するには、「最小の厳密に正の有理数が存在する、たとえばr 0 が存在する」という命題の否定を取ることから始めます。
ここで、 x = r 0 /2 とします。この場合、 x は有理数であり、厳密に 0 より大きく、 x は厳密にr 0より小さいです。しかし、これは不合理であり、 r 0 が最小の有理数であるという最初の仮説に矛盾します。したがって、元の命題は必然的に真であると結論付けることができます。厳密に 0 より大きい最小の有理数は存在しません。
何らかの数学的対象が存在しないことを証明するために、上記のような命題とともにこのタイプの引数を使用することは珍しいことではありません。私たちはそのようなオブジェクトが存在すると仮定し、それが矛盾につながることを示します。したがって、そのようなオブジェクトは存在しません。たとえば、2 の平方根が無理数であることの証明と、カントール実数のセットの不可算性の証明を参照してください。
有効な証明を提供するには、与えられた命題pについて、 p ではなく、使用される数学的システムにおいて実際に偽である特性を意味することを示さなければならないことに注意することが重要です。ここで危険なのは、誤謬を使用することです。つまり、 p ではないことがプロパティq を意味し、偽であるように見えますが、実際には偽であることが証明されていないことを示します。この誤りの歴史的な例には、ユークリッドの平行線の5 番目の公準(平行公準とも呼ばれます) が他の公準から誤って証明されたことが含まれます。これらの実証の失敗は、その後、 非ユークリッド幾何学につながりました。
私たちは常に直接論証を好む必要がありますが、不条理による推論は古典論理に基づく数学的論証で広く使用されていますが、直観主義の数学者は排除中論を拒否すると同時にそれを拒否します。彼らにとって、
数理論理学では、不条理の還元は次のように表されます。
- もし
- $$ {S \cup \{ \neg p \} \vdash F} $$
- それで
- $$ {S \vdash p} $$
上記では、
ネガティブアパゴジー
哲学では、反対の考えを論駁する分野において、弁護的な方法、または不条理への還元がより重要な位置を占めています。次に、アパゴジーは、反駁されるべき命題が、不可能な結果(それ自身または真実として受け入れられている他の原理と矛盾する)を引き起こす不合理な結果につながることを指摘することから構成されます。積極的アパゴジーよりもリスクは低いですが、この推論モードは、必ずしも反対が真実であると断言するわけではありません。したがって、たとえば、 「珍しいものはすべて高価である」という命題を、これが真実であれば、珍しいものである安い馬は同時に高価であるはずであり、それは不合理であることを示すことによって反論します。 、つまり言葉が矛盾しています。したがって、「珍しいものはすべて高価である」という命題は必然的に誤りになります。しかし、「簡単に手に入るものはすべて高価である」とか、「珍しいものはすべて安い」とは言いません。
それほど厳格ではなく、たとえ詭弁的な方法であっても、私たちは論文や教義の悲惨な結果や不愉快な結果を引き出すことに満足するでしょう（結果論を参照）。
しかし、論理的な観点からは、直接分析によって原理の誤りを論破することが依然として好ましい。また、この種の証明の無批判な使用は、本来の哲学よりもむしろエリスティックな弁証法やレトリックに属するのではないかと疑われる可能性がある。
トリビア
「インテリジェンスはロケット科学ではありません。愚かなことを考えて反対のことを言えばいいだけです（コルシェ）」
