数学では、楕円は、円を割平面に投影することによって、または直円錐とその軸に垂直でない平面との交点によって得られる閉平面曲線です。円は楕円の特殊なケースとみなされます。
したがって、それは円を遠近法で見たときに知覚される形状、または平面上の円盤の影によって形成される図形です。
幾何学では、焦点と呼ばれる 2 つの固定点までの距離の合計が一定となるような各点が存在する場所です (庭師の方法を使用したその構築は非常に簡単です)。
恒星や別の惑星を周回する天体 (惑星、彗星、人工衛星) の軌道は、一次近似では楕円になります (2 体問題とN体問題を参照)。
幾何学的定義
円錐の断面
楕円は円錐ファミリーの一部である平面曲線です。これは、平面が回転円錐を通過するときに、平面と回転円錐が交差することによって得られます。この場合、円は楕円の特殊なケース (垂直な切断面) になります。
院長と世帯主
フレームワークは次元2 のユークリッドアフィン空間です。 ( d ) を直線、 F を( d )に属さない点、 e を]0,1[の実数とします。 ( d )とFによって決定されるアフィン平面をPとします。平面Pの点Mの集合は次のことを検証します。
- $$ {\frac{d(M,F)}{d(M,(d))} = e} $$
ここで、 d ( M , F ) は点Mから点Fまでの距離を表し、 d ( M ,( d )) = d ( M , H )はMから線(d)までの距離を表します。
K を( d )上のFの正射影とします。 ( K F ) は明らかに、焦点軸と呼ばれる楕円の対称軸です。
楕円の二焦点定義
FとF ‘ を平面上の 2 つの異なる点とします。焦点FおよびF ‘の楕円を呼びます。これは、次の特性を検証する平面の点Mのセットです。
- $$ {d(M,F) + d(M,F’) =2a=2\sqrt{c^2+b^2} \qquad a \in\mathbb{R}^*_+,\quad b \in\mathbb{R}^*_+} $$
ここで、 2a は長軸の長さ、 2c = d ( F , F ‘) 、 2b は短軸(長軸に垂直な) の長さです。
親和性による円のイメージ
( C 1)を中心O 、半径aの円、 ( C 2) を中心O 、半径b ( b < a ) の円、 ( x x ‘) Oを通る直線とします。中心O 、長半径a 、短半径 b を持つ楕円を、軸( x x ‘ )と( x x ‘ )に垂直な方向の親和性およびb の円の画像( C 1 )と呼びます。 /比率。
大円の点m 1のイメージである楕円の点M を構築するには、 [ O m 1 ]上に位置する円の点m 2 ( C 2)を構築します。 ( x x ‘)に垂直なm 1 a と( x x ‘)に平行なm 2 aによって導きます。線はMで交差します。実際、 m ‘ がm 1の( x x ‘)への正射影である場合、タレスの定理によれば、次のようになります。
- $$ {\frac{m’M}{m’m_1} = \frac{Om_2}{ Om_1 } = \frac{b}{a}} $$
ステアリングサークルによる施工
F と F’ を 2 つの異なる点、(C) 中心 F’ および半径 2a (2a > FF’) の円とします。
ディレクター円 (C) と焦点 F を持つ楕円、(C) に接し F を通過する円の中心のセットを呼びます。
m で (C) に接する円の中心である点 M を作成するには、線分 [Fm] の二等分線をトレースします。これは M の半径 [F’m] と一致します。
幾何学的特性
対称性の要素
「焦点軸」は「長軸」とも呼ばれ、焦点を通り、準線に垂直であり、楕円の対称軸です。短軸も同様で、長軸に垂直で、[FF’] の中点である「楕円の中心」を通過します。長軸と短軸の交点、つまり楕円の中心が対称の中心となります。
楕円とその長軸との交点は主頂点と呼ばれ、楕円とその短軸との交点は副頂点と呼ばれます。
接線と二等分線
焦点がFおよびF’である楕円について考えます。この楕円の点Mで、扇形の二等分線 ( FMF’ ) を考えます。そして、この二等分線はMでの接線に垂直になります。
この特性は、幾何光学の楕円鏡で使用されます。つまり、焦点の 1 つを通過する光線は、反射されるともう 1 つの焦点を通過します。したがって、楕円鏡の一方の焦点に電球を置くと、光線はもう一方の焦点に焦点を合わせます。
これは、パリの地下鉄内で、あるプラットフォームから別のプラットフォームに音が非常によく伝播するという事実も説明します。実際、ほとんどの駅は楕円形をしています。音の発生源がいずれかの中心にある場合、すべての反射音は他の中心（他のプラットフォーム上）に向かって収束します。楕円が持つこの性質は「反射特性」とも呼ばれ、楕円の点における接線を使って説明されます。このように、一方の焦点から発せられた音や光線は、もう一方の焦点で反射されます。 。この特性は、特定の光学機器の設計に利用されています。それは明らかにエコー ギャラリー、つまり天井が楕円形であるため、焦点の 1 つでささやく人がもう 1 つの焦点で聞こえることを意味する部屋に存在します。ワシントンのキャピタル ビルディングのロタンダやソルトレーク シティのモルモンタバナクルは、このタイプのギャラリーの例です。 (SWOKOWSKI 著『Analytics 第 5 版』の書籍からの抜粋、 Micheline Citta による英語からの翻訳)。
サイズ間の関係
楕円がその離心率eと焦点と準線の間の距離hによって定義される場合、次のようになります。
- p = e hここで、 p は楕円のパラメータです。
- $$ {a = {p \over 1-e^2}} $$ここで、 a は長半径の長さです。
- $$ {b = {p \over \sqrt{1-e^2}}} $$ここで、 b は短半径の長さです。
- $$ {c = ae = {ep\over 1 – e^2}} $$ここで、 c は焦点と中心の間の距離です。
楕円が半軸aとbで与えられる場合
- $$ {c = \sqrt{a^2-b^2}} $$ここで、 c は焦点と中心の間の距離です。
- $$ {e = {c\over a}} $$ここで、 e は離心率であり、 e は厳密に 0 と 1 の間です。
- $$ {p = {b^2\over a}} $$ここで、 p は楕円のパラメータです。
- $$ {h = {p\over e}={b^2\over c}} $$ここで、 h は焦点とディレクターの間の距離です。
特性方程式
デカルト方程式
楕円の長軸と短軸によって定義されるフレームでは、その方程式は次のようになります。
- $$ {\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} $$
楕円の中心がx – y座標系の原点にないが、その長軸と短軸が座標軸に平行なままである場合、これは次の方程式で指定できます。
- $$ {\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1} $$
ここで、パラメータ h と k は楕円の中心の座標です。
パラメータ化
- $$ {(lien) \qquad \begin{cases}x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases} \quad t \in\R} $$
長軸と短軸によって定義される基準フレーム内で。
極方程式
- $$ {[3a] \qquad r = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R} $$
焦点と焦点軸によって定義される基準フレーム内。
または
- $$ {[3b] \qquad r^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in\R} $$
中心と焦点軸によって定義される基準フレーム内。
周
楕円の円周は 4 aE ( e ) です。ここでE は第 2種完全楕円積分です。
シリーズは次のとおりです。
- $$ {c = 2\pi a \left[{1 – \left({1\over 2}\right)^2e^2 – \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} – \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} – \dots}\right]} $$
適切な近似は、ラマヌジャンの公式によって得られます。
- $$ {c \approx \pi \left[3(a+b) – \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]} $$
次のようにも書くことができます。
- $$ {c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) – \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right]} $$
ここで、a は長軸の半分の長さ、b は短軸の半分の長さです。
より一般的には、円弧の長さは、範囲を定めた角度の関数として、第 2種不完全楕円積分によって与えられます。逆関数、つまり円弧の長さの関数として定められる角度は、楕円関数によって与えられます。
楕円の内領域の面積
楕円の面積を計算するにはさまざまな方法があります。楕円の方程式が記述されている軸によって運ばれる参照フレームに自分自身を置くことができます。
- $$ {\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} $$
上記で確立された対称性により、たとえば、この基準を基準にして平面の右上 4 分の 1 にある楕円の部分の面積を計算するだけで十分です。対応する楕円部分の方程式は次のとおりです。
- $$ {y= b \sqrt{1 – \left(\frac xa\right)^2}} $$
[0, a ]のxの場合。したがって、楕円の右上4分の1の面積は次のようになります。
- $$ {I = \int_0^a b \sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\,\mathrm dx = ab \int_0^1 \sqrt{1- t^2}\,\mathrm dt = ab \int_0^{\frac\pi2} \cos^2 u\,\mathrm du} $$
変数の変更によって取得された最後のリライト
- $$ {I= ab \int_0^{\frac\pi2} \frac{1+ \cos 2u}2\,\mathrm du = \frac{\pi ab}4} $$
そして楕円全体の面積については次のようになります。
- S = π a b
a = bの場合、円の面積が求められることに注意してください。
楕円を描く
- 2 点と弦の方法: プロパティ (リンク) によれば、楕円の点Aとその 2 つの焦点FおよびF’ の間の距離の合計AF + AF’は一定です。したがって、地面に 2 本の杭 (2 つの中心)を植え、所定の長さ (合計が一定) の非弾性ロープを杭に取り付けます。ロープをピンと張ったまま進む道は楕円です。この技法は「庭師の楕円」と呼ばれます。
2 本の杭と伸縮性のないロープを伸ばして楕円を描く
- 工業デザインでは、楕円は通常、遠近法で見た円 (例外ではありませんが、部品が楕円であることはまれです)、または部品の表面に対してある角度で開けられた穴です。したがって、楕円は円と同じ軸線で表されます。遠近法で見た円の場合、これらの軸線は傾いて基準方向に従います。真の楕円形の場合、軸線は垂直になります。
楕円は、遠近法で見た直線の穴あけを表すために使用されます (右の図)。垂直軸線は穴あけの軸を表します
正面から見た斜めの穴あけを楕円で表現（右図）
- フリーハンド描画、内接平行四辺形法: 楕円は遠近法で見た円とみなせることを上で見ました。円が正方形に内接するのと同じように、楕円は平行四辺形に内接します。これは、無謀な遠近法で見られるこの正方形に他なりません (内接する平行四辺形は無数にあり、1 つを選択する必要があることに注意してください)。まず、平行四辺形を描き、他の辺の中点を通る辺への平行線に従って、それを 4 等分します。各四半期で、辺の中点を通り、これらの中点で辺に接する円弧を描きます。
平行四辺形を使用してフリーハンドで楕円を描く