表皮効果について詳しく解説

半径a 、長さ無限の円柱を考えます。私たちは、脈動 ω の正弦波交流がシリンダーを横切る調和領域に身を置きます。調和領域の研究は、マクスウェル方程式のフーリエ変換を行うことによって行われます。

調和領域におけるマクスウェル・ファラデー方程式は次のように書かれます。

$$ { \mathrm{rot} \, \mathbf{E} = – i \, \omega \, \mathbf{B} } $$

マクスウェル・アンペール方程式は次のように書かれます。

どの中で

• E は電界ベクトルです
• B は磁気誘導ベクトルです
• H は磁場ベクトルです
• J は電流密度ベクトルです

これらの方程式に材料の磁化の法則を追加する必要があります。

$$ { \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{H} } $$

μ は、材料の絶対透磁率であり、導体の局所的な形式でのオームの法則です。

$$ { \mathbf{J} = \sigma \, \mathbf{E} } $$

σ は材料の導電率です。

導体が均質であると仮定すると、これら 2 つのパラメータ μ と σ は材料内で一定であるため、マクスウェル・ファラデー方程式に導電率を乗算することが可能になります。

$$ { \mathrm{rot} \, \mathbf{J} = – i \, \omega \, \sigma \, \mathbf{B} } $$

同様に、マクスウェル・アンペール方程式に透磁率を掛けることができます。

$$ { \mathrm{rot} \, \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{J} } $$

私たちは円筒座標系に自分自身を置きます。その変数は ( r 、 θ 、 z ) で表されます。z は円筒の対称軸です。

この座標系では、電流密度について次の仮定を立てます。

• 電流密度ベクトルは円柱の軸に沿って方向付けられます。
• 電流密度は円柱の軸に沿って変化しません。
• 電流密度は完全に線対称であるため、角度θ には依存しません。

これらの仮説により、電流密度ベクトルを次の形式で書くことができます。

$$ { \mathbf{J} = \begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix} } $$

マクスウェル-ファラデー方程式の回転を計算すると、次のことがわかります。

$$ { \mathrm{rot} \, \mathrm{rot} \, \mathbf{J} = – i \, \omega \, \sigma \, \mathrm{rot} \, \mathbf{B} } $$

または、ベクトル解析関係を使用して

$$ { \nabla \, \mathrm{div} \, \mathbf{J} – \Delta \mathbf{J} = – i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J} } $$

電流密度ベクトルに関して行われた仮定を考慮すると、次のようになります。

$$ { \Delta \mathbf{J} = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J} } $$

円筒座標では、ラプラシアンの軸成分は次のように書かれます。

$$ { \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + \frac{1}{r} \, \frac{d\,j}{dr}(r) = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, j(r) } $$

ポーズをとることで

$$ { r^2 \, \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + r \, \frac{d\,j}{dr}(r) – r^2 \, k^2 \, j(r) = 0 } $$

変数を変更すると

$$ { \xi^2 \, \frac{d^2\,j}{d\xi^2}(\xi) + \xi \, \frac{d\,j}{d\xi}(\xi) + \xi^2 \, j(\xi) = 0 } $$

r = 0 での電流の連続性を保証するために、この方程式の解をJ 0 ₍ ξ) の形式で求めます。J ₀は、第 1種の次数 0 のベッセル関数です。 したがって、次のようになります。

$$ { j(r) = j_0 \, J_0(i \, k \, r) } $$

j _{0 は}定数です。定数kについても詳しく説明します。

$$ { k = \sqrt{i} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\delta} } $$

δ は、前に次のように定義された皮膚の厚さです。

そして同様に

$$ { i \, k = \frac{-1+i}{\delta} = e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2}}{\delta} } $$

したがって、最終的に電流密度は次のようになります。

$$ { \begin{matrix}j(r) &=& j_0 \, J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta})\\ &=& j_0 \, (ber(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) + i \, bei(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}))\end{matrix} } $$

berとbei は0 次のケルビン・ベッセル関数です。

セクションを流れる合計電流は次のように定義されます。

$$ { \begin{matrix}I &=& \int_0^a j(r) \, 2 \, \pi \, r \, dr\\ &=& 2 \, \pi \, j_0 \int_0^a J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) \, r \, dr\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \int_0^{\sqrt{2} \, a / \delta} (ber(x) + i \, bei(x)) \, x \, dx\end{matrix} } $$

BerとBei に次のプリミティブがあることに注目してください。これらは級数によって評価できます。

$$ { Ber(x) = \int_0^x ber(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime \qquad \mbox{ et } \qquad Bei(x) = \int_0^x bei(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime } $$

これらの表記法を使用すると、合計電流をよりコンパクトな形式で表現できます。

$$ { I = \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left(Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})\right) } $$

同様に、表面と半径r の間の厚さを循環する電流を計算できます。

$$ { \begin{matrix}I(r) &=& \int_{a-r}^a j(r^\prime) \, 2 \, \pi \, r^\prime \, dr^\prime\\ &=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left( Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})- Ber(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) – Bei(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta})] \right)\end{matrix} } $$

したがって、最終的に、導体の表面を原点r =0 とする電流分布関数は次の式で与えられます。

$$ {\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) – Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}} $$