計画 (数学) – 定義

導入

数学では、平面は基本的な 2 次元オブジェクトです。直感的には、無限に広がる厚さゼロのシートとして視覚化できます。幾何学と三角法の基本的な作業のほとんどは 2 次元、つまり平面で実行されます。

定義

ユークリッドの要素では、平面図形の概念のみが定義されています。平面図形とは、直線で描かれた面に含まれる図形で、その 1点は固定され、2 番目の点は2 番目の直線上で移動します。残念ながら、この定義は、精度に欠ける所定の表面定義に依存しています。現在の数学のプレゼンテーションでは、ベクトルまたはアフィン平面が線形代数のオブジェクトとして定義されています。

平面(ベクトルまたはアフィン) は、次元2のKベクトル空間またはKアフィン空間であり、 K は物体を表します。

最も頻繁に起こるケースは、フィールドKが実数の場合に対応します。したがって、複素平面は、実数体上の2次元のベクトル空間とみなされる複素数体を指定します。

重要なケースは、平面が実数体の3次元空間内の2次元アフィン部分空間を指定する場合です。この状況は単にジオメトリをモデル化しているだけです。

計画を定義するには、次のようなさまざまな方法があります。

• 3 つの位置合わせされていない点を含む最小のアフィン空間。
• 線とこの線に属さない点を含む最小のアフィン空間。
• 混同されていない 2 本の割線を含む最小のアフィン空間。
• 混乱のない平行な 2 本の線を含む最小のアフィン空間。
• 点を含み、その方向が 2 つの非共線ベクトルによって生成される最小のアフィン空間。
• 点を含み、ゼロ以外のベクトル(法線ベクトル) に直交する最小のアフィン空間。

その後、最後の 2 つの定義を使用して計画の方程式を作成します。

平面と直線の相対位置

直線 ( D ) と平面 ( P ) が与えられると、さまざまな相対位置は次のようになります。

• ( D ) は ( P ) に含まれます。
• ( D ) と ( P ) の交点は点に減らされます。
• ( D ) と ( P ) は素です。

3次元空間では、(D) が (P) に含まれるか、(P) から独立している場合に限り、(D) は (P) に平行になります。

2 つの平面の相対位置

3次元空間では、2 つの平面の相対位置は 2 つだけです。

• 平行: 厳密に (空の交差点) または混乱しています。
• セカント: それらの交点は直線になります。それらは直交することができます (それらの「法線」ベクトルは直交します)

ベクトル幾何学

平面は、物体上のベクトル空間の 2 次元部分空間です。

。この場合、ベクトル平面についても話します。

平面は常に 2 つの非共線ベクトルvおよびwによって生成されます。このように、 x は、 vとwの線形結合であり、係数が次の場合に限り、平面のベクトルになります。

。 Vが有限次元nの場合、平面のすべてのベクトルをキャンセルするn − 2 個の独立した線形形式によって平面を定義することもできます。たとえば、平面と別のオブジェクト (たとえば、曲線や表面) の交点を決定したい場合、この最後の特性評価を利用できることは特に興味深いことです。

次元 3 の分析的アプローチ

空間Vが 3 次元の場合、平面を定義するには単一の直線形状で十分です。それを生成する 2 つのベクトルvとw を座標とともに知る

$$ {\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad \begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix},} $$

平面の方程式を与える線形の作り方を知っておくと役に立ちます。 v 、 w 、およびzの混合積は、 z がvとwによって生成された平面に属している場合にのみゼロになります。この混合製品はこう書かれています

$$ {[v,w,z](v\times w)\cdot z=z_1(v_2w_3-v_3w_2)+z_2(v_3w_1-v_1w_3)+z_3(v_1w_2-v_2w_3).} $$

このようにして、目的の直線形状が得られました。

逆に、線形形式がある場合、

平面を定義すると、線形からこの平面を生成する 2 つのベクトルを簡単に見つけることができます。 a ₁ 、 a ₂ 、 a ₃の間には必ず非ゼロ係数が存在します。この係数が2_であるとしましょう。次に、平面の方程式を次の形式で書き直すことができます。

z ₂ = − ( a ₁ z ₁ + a ₃ z ₃ ) / a ₂ 。

次に、結合( z ₁ , z ₃ )を独立した結合(1,0)と(0,1)に置き換えることにより、2 つのベクトルが得られます。

$$ {\begin{pmatrix}1\\-a_1/a_2\\0\end{pmatrix}\quad \text{et} \quad \begin{pmatrix}0\\-a_3/a_2\\1\end{pmatrix},} $$

これらは、 z ₂の軸に対するz ₁ 、 z ₃の平面上のそれぞれの投影が独立したベクトルであるため、必然的に独立している。

高次元での一般化

n次元空間に 2 つの独立したベクトルvとw があると仮定します。平面の方程式を与えるn − 2 個の独立した線形形式を見つけるにはどうすればよいでしょうか?これは、線形システムの解の基礎を探すことに相当します。

$$ {\begin{align}&\sum_{i=1}^nv_i x_i=0,\\&\sum_{i=1}^nw_ix_i=0.\end{align}} $$

これを行うには、ペア( v _p , v _q )と( w _p , w _q )が線形独立となるように 2 つのインデックスpとq を選択します。幾何学的には、これは、部分空間{ z : z _p = z _q = 0}に平行な、この平面上のvとwのそれぞれの投影が独立するような座標平面を選択することになります。 vとwは独立しているため、このような平面は常に存在します。これが完了したら、以前のシステムを次の形式で書き換えます。

$$ {\begin{align} v_px_p+v_qx_q&=-\sum_{i\neq p,q}v_ix_i,\\ w_px_p+w_qx_q&=-\sum_{i\neq p,q}w_ix_i.\end{align}} $$

この線形システムの解は古典的な方法によって得られます。解の空間の基礎を得るには、シーケンス内のn − 2要素を置き換えるだけで十分です。

ベクトル空間の正準基底の要素 、つまり

$$ {(1,0,0,\dots,0), (0,1,0,\dots,0), (0,0,1,\dots,0),\dots, (0,0,0,\dots,1)} $$

。

逆に、 n − 2 個の独立した線形形式が与えられた場合、

、システムの解のセットの基底を見つけることによって、これらの線形形式が相殺される点のセットとして定義される平面内で 2 つの独立したベクトルを見つけます。 実際には、列の可能な置換を条件として、システムの行列L をスケーリングされた形式に置くことが最善の方法です。 M のランクはn − 2であるため、このアルゴリズムは、解く対象となるn − 2 個の変数と、右側に置く 2 つの独立変数を提供します。その場合、解決は迅速になります。解く際に関連する変数のインデックスを検出するには、Cramer の公式を避けることが絶対に必要です。n ( n − 1) / 2 の行列式を計算する必要があります。 、ガウス・ジョーダンアルゴリズムによって行列式を計算すると、 n ⁴のオーダーの合計演算数について、ステップ形式のパッセージにより、 n ³のオーダーの演算数について結論を得ることができます。