導入
アインシュタイン方程式またはアインシュタイン場方程式は、一般相対性理論の主偏微分方程式です。これは、物質とエネルギーが時空の形状をどのように変化させるかを説明する力学的方程式です。物質源の周囲のジオメトリのこの曲率は、この物質源の重力場として解釈されます。このフィールドにおける物体の動きは、その測地線の方程式によって非常に正確に記述されます。
アインシュタインの場方程式の数学的形式
アインシュタインの場方程式は一般に次のように記述されます。
$$ { R_{\mu \nu} \ – \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu} } $$ 。 |
ここで、 R μνはリッチ テンソル、 R はスカラー曲率、 g μν は署名計量テンソル(+、-、-、-)、 Λ は宇宙定数、 G は重力定数(約 6.6742.10 -11 m3kg -1 s – 2 )、 c は光の速度(正確に 299 792 458 ms -1 )、 π は数パイ、 T μν はエネルギー運動量テンソルです。
アインシュタインの場方程式は、対称な 4 x 4 テンソルのセットを関連付けるテンソル方程式であり、コンポーネントの観点から記述されます。各テンソルには 10 の独立したコンポーネントがあります。 4次元時空の座標に関する選択の自由を考慮すると、最終的には 6 つの独立した方程式だけが得られます。
アインシュタインの場方程式は、エネルギー運動量テンソルとして表現される物質とエネルギーの分布を考慮して、計量テンソルg a b を知るための方程式として理解されます。単純な外観にもかかわらず、特にリッチ テンソルとスカラー曲率が計量に依存するため、実際には比較的複雑です。
宇宙定数Λは、アインシュタインの方程式から得られる宇宙論モデルの静的な解を可能にするために、アインシュタインによって導入されました。彼は後にこの導入を「人生最大の間違い」と呼んだ。
Λ = 0 (アインシュタインは最終的に認めましたが、今日では議論の余地があります) と考えると、アインシュタイン テンソルを定義することで、この関係をよりコンパクトに記述することができます。
- $$ {G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} – {1 \over 2}R g_{\mu \nu}} $$
これは、計量に応じたランク2 の対称テンソルです。 G = c = 1 の幾何単位で作業すると、次のようになります。
- $$ {G_{\mu \nu} = 8\pi T_{\mu \nu}\,} $$
左側の部分は計量によって決定される時空の曲率を表し、右側の式は時空の質量/エネルギー内容を表します。この方程式は、時空の曲率が宇宙の質量/エネルギー内容にどのように関係するかを説明する一連の方程式として解釈できます。
これらの方程式は、測地方程式とともに、一般相対性理論の数学的定式化の中核を形成します。
宇宙定数
計量に比例する項を導入することで、アインシュタインの場の方程式を変更することができます。
- $$ {R_{\mu \nu} – {1 \over 2}R g_{\mu \nu} – \Lambda g_{\mu \nu} = {8 \pi} T_{\mu \nu}} $$
(この方程式が c=1 のような単位系で真であることを指定します) 定数Λは宇宙定数と呼ばれます。
この宇宙定数はもともとアインシュタインによって、彼の方程式から静的な宇宙 (つまり、膨張も収縮もしない宇宙) を求めるために導入されました。この取り組みは 2 つの理由で失敗しました。1 つは、この理論で記述された静的な宇宙が不安定であったこと、そして10 年後のハッブルによる遠方銀河の観測により、私たちの宇宙が実際には静的ではなく膨張していることが確認されたということです。したがって、 Λはその後放棄され、アインシュタインはそれを「人生最大の間違い」と呼びました。
この定数を導入したアインシュタインの動機は間違っていましたが、方程式内にこの定数が存在することに矛盾はありません。実際、最近改良された天文学技術により、特定の観測を説明するにはΛの非ゼロ値が必要であると断言できるようになりました。したがって、宇宙定数の存在は、ゼロではない真空エネルギーの存在と同等になります。
