不条理な推論 – 定義

導入

不条理（ラテン語のreductio ad absurdumに由来）またはアパゴジー（古代ギリシャ語のapagôgêに由来）による推論は、論理的、哲学的、科学的推論の形式であり、補完命題の不条理を証明することによって命題の真実性を証明すること（または、 「反対に」）、または不条理な結果を論理的に演繹することによって別の命題の誤りを示すこと。

ポジティブアパゴジー

私たちは、結論が命題の真実性を肯定するとき、物事の性質そのものから引き出された論証によって直接それを確立するのではなく、反対の命題が不条理であることを示すことによって間接的に証明するとき、単純な不条理による肯定的な同化ジーまたは論証について話します。私たちは、一方の虚偽からもう一方の真実へと結論を導き出します。

たとえば、スピノザは不条理を通じて「物質の生産は絶対に不可能なことである」ことを証明しています（倫理学I、命題 VI、帰結）。実際、物質が生成される場合、この物質の知識はその原因の知識に依存する必要があり（結果の知識は原因の知識を前提としている）、したがって、それはもはや物質ではなくなります。それ自体であり、それ自体で考えられるもの。

この推論方法の制限

この推論は、矛盾する命題が 2 つしか考えられず、一方が真であれば一方が必ず偽となり、その逆の場合にのみ正当となります。そうしないと、誤ったジレンマに基づいた詭弁に堕してしまいます。そうでない場合、他のすべての代替テーゼの誤りを実際に証明しなければなりません。A、B、または C が可能な仮説とみなされるかどうかに関係なく、B と C が誤りであることを証明し、したがって A が真であることを証明します (これは古典的に選言的とも呼ばれるものです)推論( modus tollendo-ponens )。

認識論的な観点から見ると、この証明は常に直接論証より劣っています。なぜなら、それが心を束縛するとしても、それは心を啓発せず、直接証明や直示と同様に、物事の理由を与えないからです。したがって、他の方法ができない場合にのみこの言葉を使用することが望ましいです。たとえば、議論の中で、直接の証明を拒否したり原則を否定したりする矛盾者を相手にしている場合です。これは、懐疑論などの特定の教義に対する反論の場合に当てはまります。

数学への応用

不可能による証明は、数学で特定の定理を証明するために使用されますが、これは弁護的な証明に当てはまります。排中原理を拒否する直観主義者と呼ばれる一部の数学者はそれを認めていない。

命題p を証明しなければならないと仮定しましょう。このアプローチは、仮説がp ではない(つまり、 pが偽である) と論理矛盾が生じることを示すことから構成されます。したがって、 p はfalse であってはならず、したがって true でなければなりません。

簡単な例を挙げて、「厳密に 0 より大きい最小の有理数は存在しない」という命題を考えてみましょう。不条理を推論するには、命題の否定を取ることから始めます。「最小の厳密に正の有理数が存在します。たとえばr ₀です」。

ここで、 x = r ₀ /2 とします。この場合、 x は有理数であり、 xは厳密に 0 より大きく、 x は厳密にr ₀より小さくなります。しかし、これは不合理であり、 r _{0 が}最小の有理数であるという最初の仮説に矛盾します。したがって、元の命題は必然的に真であると結論付けることができます。厳密に 0 より大きい最小の有理数は存在しません。

何らかの数学的対象が存在しないことを証明するために、このタイプの引数を上記のような命題とともに使用することは珍しいことではありません。私たちはそのようなオブジェクトが存在すると仮定し、それが矛盾につながることを示します。したがって、そのようなオブジェクトは存在しません。たとえば、2 の平方根が無理数であることの証明と、カントールの実数集合の非可算性の証明を参照してください (ただし、次の段落で説明する理由により、数学者は次の値を取得するために努力していることに注意してください)直接的な証明、特にカントールの定理の証明に現れる不条理による推論は簡単に排除できるということ）。

注意

有効な証明を提供するには、与えられた命題pについて、 not p が、使用される数学系において実際に偽である性質を意味することを示さなければなりません。ここで危険なのは、誤謬を使用することです。つまり、 p ではないことがプロパティqを意味し、偽であるように見えますが、実際には偽であることが証明されていないことを示します。この誤りの歴史的な例は、ユークリッドの第 5 公準(平行公準とも呼ばれます) が他の公準から誤って実証されたことなど、数多くあります。これらの実証の失敗は、その後、非ユークリッド幾何学につながりました。

直接証明は常に優先されるべきですが、古典論理に基づく数学的証明では不条理による推論が非常に一般的に使用されます。直観主義の数学者は、排中論を拒否すると同時に、このタイプの推論を拒否します。

矛盾が生じるため、 pのデモンストレーションを構築することはできませんが、 、それは弱いです。

命題の微積分では、不合理な還元は次のようにおおよそ表されます。

上記では、

これは私たちが実証したい命題であり、 true として与えられる一連のアサーションです。これらは、たとえば、私たちが取り組んでいる理論の公理や特定の仮説である可能性があります。の否定を考えますに加えて ;それが論理矛盾につながるなら 、すると、次の命題を結論付けることができます。 私たちは推測します 。