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- $$ {\begin{matrix} f_k: & \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ & x & \mapsto & a_kx^k \end{matrix}} $$
関数f k はk次の単項関数と呼ばれます。したがって、多項式関数は単項式関数の和であると言います。
一般に、初等数学で学習される多項式関数は次のように定義されます。
誤った名称ですが、多項式関数を多項式と呼ぶことがあります。そのため、関数と形式的な多項式を混同します。この混乱は初等数学の文脈では深刻ではありませんが、一般的な代数学では誤解を招く可能性があります。
例
表記上の過負荷を避けるために、多項式関数の式のみを指定します。その開始セットは常に
もし
非ゼロ多項式関数の次数は、その最高次数の単項関数の次数です。非ゼロ定数関数は、次数 0 の単項関数です。ゼロ定数関数は、次数に等しい多項式関数と呼ばれます。
f(x) = ax + bで定義され、 aがゼロ以外のアフィン関数 は、1 次の二項関数です。 f ( x ) = a x 2 + b x + cで定義され、 aが非ゼロとなる関数は、2 次の 3 項関数です。
根
f(r) = 0 の場合、 r は多項式fの根であると言い、 (x – r)によって多項式を因数分解できることを示します。
- 次数 1 の二項
- f(x) = ax + b (ゼロ以外)
- ルートr = -b/a
- 因数分解: f(x) = a(x – r)
- 2次三項式
- 主な記事: 二次方程式
判別式の符号に応じて、2 次多項式関数は 0 または 2 つの根 (おそらく結合) を持ちます。
- f(x) = a(x – r 1 )(x – r 2 )
- 一般的な場合
初等数学では、2 より大きい次数の多項式の根を見つけることは、「明白な」根を探すことによって実験的にのみ行われます。
- f(x) = x 3 + 3x 2 – 16x + 12の場合、単純な値の画像の中でも特に f(2) を計算することで、2 がfの根であることがわかります。次に、ホーナー法、多項式の除算、同定などのさまざまな方法を使用して因数分解が行われます (下記を参照)。
識別
で定義された多項式関数が
これは、特定の式に対してより適切な形式を見つけることを可能にする効果的なプロパティです。
例 1 :すべての実数xについて、 x 3 + 3x 2 – 16x + 12 = (x – 2)(x 2 + ax + b)となる a と b を見つけます。
- f(x) = x 3 + 3x 2 – 16x + 12とします。
- g(x) = (x – 2)(x 2 + ax + b)とします。
- g(x)を展開します: g(x) = x 3 + (a – 2)x 2 + (b – 2a)x – 2b
- 2 つの多項式は 3 つ以上の点で一致するため、同じ次数 (3 次) で同じ係数を持ち、同一です。言い換えると、すべてのxについてf(x) = g(x) となります。
- $$ {\begin{cases} 1 = 1 \\ 3 = a – 2\\ -16 = b – 2a\\ 12 = -2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 5\\ b = -6 \end{cases}} $$
- 次に、 f(x) = (x – 2)(x 2 + 5x – 6)を取得します。
例 2 : f(x) = x 4 – 4x 3 + 9x 2 – 10x -1で定義される多項式関数fの研究により、代表的な曲線に対する方程式x = 1の対称軸の存在が明らかになり、次のことがわかります。すべての実数xについて、 f(x) = (x-1) 4 + a(x – 1) 2 + bとなる 2 つの実数aおよびbを探します。
- g(x) = (x-1) 4 + a(x – 1) 2 + bとします。
- 私たちは注目すべきアイデンティティのおかげでg(x)を開発します。
- g(x) = x 4 – 4x 3 + (6 + a)x 2 – (4 + 2a)x + 1 + a + b
- 私たちは識別します
- $$ {\begin{cases} 1 = 1 \\ -4 = -4\\ 9 = 6 + a\\ 10 = 4 + 2a\\ -1 = 1 + a + b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 3\\ b = -5 \end{cases}} $$
- 次に、 f(x) = (x-1) 4 + 3(x-1) 2 – 5を取得します。
例 3 : すべてのxに対して定義された有理関数を 2 とは異なるものにしようとします。
- ポーズをとる$$ {g(x) = ax + b + \frac{c}{x – 2}} $$
- 同じ分母に縮小します$$ {g(x) = \frac{ax^2 + (b – 2a)x + c – 2b}{x – 2}} $$
- 2 つの関数は同じ分母を持ち、分子がこの同じセット上で一致する場合に限り、2 以外の任意のxについて一致します。分子は 2 つ以上の点で一致する 2 次多項式であるため、それらの係数を特定できます。
- $$ {\begin{cases} 2 = a \\ 3 = b – 2a\\ -5 = c – 2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2\\ b = 7\\ c = 9 \end{cases}} $$
- 次に、 $$ {f(x) = 2x + 7 + \frac{9}{x – 2}} $$
対称性の要素
多項式関数fを表す曲線は、 f を構成するすべての単項式が偶数次である場合に限り、その対称軸として軸(Oy)を持ちます。おそらくこの性質が、対称軸として軸(Oy)をもつ代表曲線をもつ関数に対する偶関数の名前の由来となっています。
同様に、多項式関数fの曲線は、 f を構成するすべての単項式が奇数次である場合に限り、対称中心として点O を持ちます。
勉強
アフィン関数と二次関数の研究が徹底的に行われます。高次の多項式関数に関しては、いくつかの結果が得られます。
多項式関数は微分可能です
したがって、多項式関数は連続です。
多項式関数の無限大の限界は、その最高次数の単項式の限界と等しくなります。
- の限界$$ {+ \infty} $$n x nは$$ {+ \infty} $$nが正の場合、および$$ {-\infty} $$さもないと。
- の限界$$ {- \infty} $$n x nは
- $$ {+ \infty} $$nが正であり、n が偶数の場合
- $$ {- \infty} $$nが正で、n が奇数の場合
- $$ {- \infty} $$nが負であり、n が偶数の場合
- $$ {+ \infty} $$nが負であり、n が奇数の場合。
いくつかの興味深いオープニング
初等数学には、カルダン法を使用した次数 3 の多項式の根の検索や、次数 4 の多項式の根などの興味深い結果は含まれません。このような方法が存在するということは、5 以上の次数に対する一般的な方法があることを示唆しているかもしれませんが、そうではありません。
2 次の多項式の根の存在は、n 次の多項式には次の係数があるという代数の基本定理との最初の接触です。