導入
数学では、局所反転定理は微分幾何学の結果です。これは、関数f が点aで連続微分可能であり、この微分が共連続全単射である場合、つまり連続であり逆数である場合、局所的にfは可逆であり、その逆は微分可能であることを示します。
この定理は陰関数の定理と同等であり、広く使用されています。これは代数幾何学に見られ、ヘアリー ボール定理の証明に何らかの形で使用されます。これは、球上で、各点で決してゼロではないベクトルをサポートし、ベクトルを球の各点に関連付ける関数に少なくとも 1 つの不連続点が含まれていることを示します。その結果、トカマクは決して球形ではなくトロイダル形になります。これは、ラグランジュ乗数の特性の特定の実証で今でも見られ、 等周定理などの極値の問題を解決することができます。等周定理の形式の 1 つは、ある面で可能な最大の表面を示します。与えられた周長は円板であり、これが舷窓が円形である理由です。また、これは、有界解のみを有する平面の自律微分方程式がカオスを生成できないことを確立する、ポアンカレ-ベンディクソンの定理として知られる結果である、整流定理を実証するためにも使用されます。
彼の証明では、不動点定理の簡単なバージョンが使用されます。これにより、結果をさまざまな構成、有限次元の実ベクトル空間、バナッハ空間、さらには微分多様体で確立することが可能になります。より強力なバージョンとして、大域反転定理があります。
ステートメント
いくつかの形式がありますが、ここで提案する形式は比較的一般的です。
- 局所反転定理: f を U から Fへの写像とし、 Uは実バナッハ空間の開、 F はバナッハ空間、 x はUの点です。 f がクラス C p に属し、 pが厳密に正であり、点xでのf の微分が共連続同型である場合、 f の Vへの制限がf ( V )における共連続全単射となるような x の近傍 V が存在します。逆はクラスC pのものです。
この発言には説明が必要です。バナッハ空間は、誘導距離の完全に正規化されたベクトル空間です。重要な例は、有限次元の実ベクトル空間です。一部のバージョンでは、記述をこの特定のケースに限定しています。
微分は、導関数の概念の一般化に対応します。 hが小さい場合、増加f ( x + h ) – f ( x ) はf’ ( x ) にほぼ等しくなります。 h 。 f がRにおけるRの関数であり、項f'(x) が点xにおける関数fの微分を表す場合、この等式は先験的に意味を持ちます。関数があるベクトル空間から別のベクトル空間に定義されている場合、この結果は一般化されますが、 d f xまたは D f xで示されるf'(x)は、 fから点xまでの微分と呼ばれる連続線形マップです。 D f x をxに関連付ける応用はfの微分であり、あるベクトル空間を別のベクトル空間に応用するものであり、微分することもできます。この演算がp回実行でき、 p番目の差分が連続であれば、アプリケーションf はクラスC pであると言われます。
次の結果が得られます。
- 大域反転定理: 前の定理の仮定の下で、 f がさらに単射であり、 Uのすべてのxについて点xにおけるfの微分 D f xが共連続同型である場合、 fはUのfへの全単射です ( U ) であり、その逆数はクラスC pに属します。
注: その逆数もクラスC pであるようなクラスC pの全単射写像は、 C p微分写像と呼ばれます。
